V této kapitole se budeme věnovat práci s množinami, ukážeme si, jaké s nimi lze provádět operace a také jak je můžeme využít k řešení mnoha úloh. Dále bychom si měli ukázat souvislost mezi množinovými operacemi a operacemi s výroky. Nebudeme však pojem množiny zavádět, ten by nám měl být znám již z dřívějška.
Připomeňme však přesto několik drobností, souvisejících především se značením. Předně je nutné si uvědomit, že množina je souborem prvků a také že prvkem množiny může být nejen číslo, ale naprosto cokoliv včetně dalších množin. Nezapomeňme na to, že množina nemůže obsahovat dva identické prvky, ale daný prvek buď obsahuje (je jejím prvkem) nebo neobsahuje. Pro značení množin budeme používat velká písmena. Na těchto stránkách však i přesto snadno odlišíme výrok od množiny označené stejným písmenem (např. A) – množinu označíme A, zatímco výrok A.
Už v minulé kapitole jsme také použili značení pro některé speciální množiny. Je to především množina všech přirozených čísel ℕ, celých čísel ℤ, racionálních čísel ℚ a reálných čísel ℝ.
Chceme-li zapsat, že nějaký prvek x patří do množiny M, využijeme značku ∈ a zapíšeme tento fakt jako „x ∈ M“. Pokud naopak nějaký prvek y do množiny M nenáleží, můžeme použít zápis „y ∉ M“.
Často se také používá grafické znázornění množin, které umožňuje objasnění některých vztahů a pojmů. Obvykle množinu znázorňujeme jako kruh (buď vybarvíme celou jeho plochu nebo ho jen naznačíme zakreslením kružnice, která ho ohraničuje). To, že množiny mají některé prvky společné, zakreslíme tak, že se množiny patřičným způsobem překrývají. Pokud chceme naznačit, že nějaký prvek patří do dané množiny, zakreslíme ho jako bod uvnitř kruhu (viz následující obrázky), atd.
 |
 |
| x ∈ M | x ∉ M |
Chceme-li zapsat informaci o tom, jaké prvky množina obsahuje, můžeme použít výčet nebo zápis pomocí charakteristické vlastnosti. Má-li být množina M množinou přirozených čísel od jedné do pěti, zapis pomocí výčtu bude M = {1, 2, 3, 4, 5}. Množina H, která obsahuje všechna reálná čísla větší než pět, může být pomocí charakteristické vlastnosti zadána: H = {x ∈ ℝ; x > 5}.
Někdy je vhodné umět zapsat počet prvků v dané množině (neboli mohutnost množiny). Některé mohou obsahovat i nekonečně mnoho prvků. Jak tedy zapíšeme, že např. množina M obsahuje pět prvků (neboli má mohutnost 5)? Učiníme tak pomocí dvou svislých čar – „|M| = 5“.
Prázdná množina neobsahuje žádný prvek (má mohutnost 0), sama však může být prvkem nějaké jiné množiny. Pozor – množina obsahující prázdnou množinu není prázdná! Pro práznou množinu se používají dva zápisy – buď {} nebo ∅.
Je-li každý prvek nějaké množiny H zároveň prvkem nějaké množiny M (která však může obsahovat i další prvky), pak říkáme, že množina H je podmnožinou množiny M. Máme-li např. množinu M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a množinu H = {1, 3, 4, 5}, můžeme říci, že množina H je podmožinou množiny M. Tuto informaci můžeme zapsat pomocí symbolu ⊆ takto: „H ⊆ M“. Je dobré si uvědomit, že každá (i prázdná) množina je podmnožinou sebe sama a také že prázdná množina je podmnožinou každé množiny. Vztah „být podmnožinou“ se nazývá inkluze.
H ⊆ M
Pomocí inkluze se obvykle také zavádí rovnost množin, která se značí obvyklou značkou „=“. Rovnost zavádíme jako tzv. oboustrannou inkluzi, neboli máme-li množiny A a B, jsou si tyto množiny rovny právě tehdy, když platí A ⊆ B a současně B ⊆ A, což můžeme zapsat i pomocí výrokové symboliky: A = B ⇔ [A ⊆ B ∧ B ⊆ A]. Takto zavedená rovnost odpovídá intuitivní představě rovnosti množin – množiny jsou si rovny, pokud obsahují právě tytéž prvky. Pokud bychom chtěli rovnost množin graficky, kruhy reprezentující tyto dvě množiny by se přesně překrývaly.
Protože jsme si již nadefinovali rovnost množin, můžeme si říci, že někdy rozlišujeme ostrou a neostrou inkluzi. Platí mezi nimi vztah podobný ostré a neostré nerovnosti. Neostrá inkluze je právě ten vztah, který jsme si o odstavec výše nadefinovali jako inkluzi. Ostrá inkluze také říká, že množina je podmnožinou nějaké množiny, ale navíc přidává, že si tyto dvě množiny nejsou rovny. Neostrá inkluze tedy rovnost připouští, ostrá nikoli. Chceme-li zapsat ostrou inkluzi, použijeme místo značky ⊆ značku ⊂. U ostré inkluze hovoříme o vlastní podmnožině, u neostré o nevlastní podmnožině.
Máme-li množiny A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a C = {1, 2, 3, 4}. Pak všechna tato tvrzení platí: A ⊆ B, B ⊆ A, C ⊆ A, C ⊆ B, A = B, C ⊂ A a C ⊂ B. Naopak, např. tvrzení B ⊂ C a A ⊂ C pravdivá nejsou.
V předcházejících odstavcích jsme si stručně shrnuli, co už bychom měli o množinách vědět, a ukázali, jaké značení budeme používat. Nyní začněme se zavedením množinových operací – doplňku, rozdílu, sjednocení a průniku.
Mějme dvě množiny A a B, kde navíc platí B ⊆ A. V takové situaci zavádíme pojem doplněk množiny.
Je-li B ⊆ A, pak doplňkem množiny B vzhledem k množině A je množina, která obsahuje všechny prvky z A, které zároveň nejsou v B.
Doplněk množiny B vzhledem k množině A budeme značit B'A. Pokud je z předchozího kontextu jasné, k jaké množině je doplněk vztažen, můžeme psát zkráceně B'. Je asi také zřejmé, že operace doplňku není komutativní, neboli když zaměníme pozice množin A a B, nedostaneme stejný výsledek (nejen to, dokonce pak většinou není možné o doplňku mluvit, protože je porušena podmínka inkluze). Graficky si můžeme doplněk znázornit následovně (doplněk je vyznačen šrafováním):
B'A
Řekli jsme si, že doplněk je také množina, zavedli jsme si tedy operaci, která nám umožňuje definovat novou množinu ze dvou již známých množin. Nesmíme však zapomenout na podmínku, že množina, jejíž určujeme doplněk, musí být podmnožinou množiny, vzhledem ke které se doplněk tvoří! Nyní si ukažme několik příkladů na konkrétních množinách:
Pokud použijeme obrazné vyjadřování, můžeme říci, že doplněk množiny B vzhledem k množině A je právě ten „zbytek“ množiny A, který zbyde po „odstřižení“ její podmnožiny B.
U doplňku množin jsme byli velmi omezeni podmínkou, kdy jedna množina musela být podmnožinou druhé. Nyní si ukážeme operaci, která je doplňku podobná, avšak toto omezení nemá. Rozdíl množin totiž „ukousne“ z jedné množiny to, co má společné s množinou druhou. Rozdíl množin A a B budeme značit A − B a jeho definice je:
Rozdíl množin A a B, který značíme A − B, je množina, která obsahuje všechny prvky množiny A s výjimkou těch, jež jsou zároveň prvky množiny B.
Což můžeme říci také jinak: Chceme-li vytvořit množinu A − B, pak stačí vzít množinu A a vyjmout z ní prvky, které má společné s množinou B. I zde je zřejmé, že ani rozdíl není komutativní. Grafické znázornění rozdílu může vypadat např. takto:
 |
 |
| A − B | B − A |
I rozdíl množin si samozřejmě ukážeme na konkrétních příkladech, měli bychom také poukázat na některé speciální případy:
Obrazně opět můžeme hovořit o „odstřihnutí“ části množiny, a to konkrétně té části, kterou má společnou s množinou, jíž „odečítáme“.
Další operace, kterou si ukážeme, slouží ke „spojení“ dvou množin. Tato operace se jmenuje sjednocení a značíme ji „∪“. Definice je následující:
Množina A ∪ B obsahuje jen a pouze takové prvky, které patří alespoň do jedné z množin A a B.
Sjednocením dvou množin tedy získáme množinu, která obsahuje všechny prvky z obou těchto množin. Zkrátka „sesypeme“ obě množiny do jedné, nesmíme však zapomenout, že množina nemůže obsahovat více exemplářů stejného prvku (pokud je tedy nějaký prvek v obou množinách, v jejich sjednocení bude pouze jednou)!
Grafické znázornění sjednocení množin je následující:
A ∪ B
Nyní se opět podívejme na několik konkrétních příkladů sjednocení:
Jak je to s komutativitou sjednocení množin? Z jeho definice plyne, že tato operace je komutativní, sléváme prvky z obou množin do jedné a nezáleží nám na tom, kterou začneme. Zkráceně můžeme zapsat tento poznatek následovně: Pro každé dvě množiny A a B platí, že A ∪ B = B ∪ A.
Poslední operací, kterou si ukážeme, je průnik množin. Tato operace nám umožňuje ukázat, co mají množiny společné. Budeme ji značit symbolem, který připomíná horizontálně převrácený symbol pro sjednocení, tj. „∩“.
Průnik množin A a B, který značíme A ∩ B, je množina všech prvků, které jsou obsaženy v množině A a současně i v množině B.
Průnikem dvou množin získáme množinu, která obsahuje jen ty prvky, které jsou pro dané dvě množiny společné. V grafickém znázornění zohledníme to, že společné prvky mají být naznačeny překrytím kruhů, jež symbolizují množiny:
A ∩ B
Jestliže dvě množiny nemají žádné společné prvky, neboli jejich průnikem je prázdná množina, pak o těchto množinách říkáme, že jsou disjunktní. Je to velmi důležitá vlastnost dvojice množin, protože je z ní možné odvodit mnoho dalších poznatků. Platí například, že mohutnost sjednocení dvou disjunktních konečných množin je součtem mohutností sjednocovaných množin. Chceme-li naznačit opačnou situaci – tedy že množiny mají nějaké společné prvky – používáme často spojení, že množiny mají neprázdný průnik.
Disjunktní množiny
K dobrému pochopení operace průniku si opět ještě můžeme pomoci ukázkou několika příkladů:
Je zřejmé, že tato operace je komutativní. Vybíráme totiž prvky společné pro obě množiny a je lhostejné, u které začneme. Pro libovolné dvě množiny A a B platí: A ∩ B = B ∩ A.
Dříve než se pustíme do složitějších operací s množinami, seznámíme se s nástrojem, který nám umožní si mnoho poznatků jednoduše ukázat pomocí grafického znázornění. My už jsme jedno grafické znázornění používali, avšak toto znázornění má své nevýhody. Především je nepříjemné to, že toto zobrazení může vypadat různě pro různé situace v závislosti na konkrétních množinách (podívejme se na rozdíl mezi zobrazením, kdy jedna množina je podmnožinou druhé anebo když jsme zachycovali disjunktnost množin). Nyní bychom však potřebovali odvozovat obecné vztahy mezi množinami a k tomu je nutné použít schéma, kterým bude možné zachytit všechny vztahy mezi množinami. A právě to umožňují Vennovy diagramy, které představil v 19. století anglický vědec a kněz John Venn.
Vennův diagram umožňuje zaznamenat libovolný konečný počet množin tak, že rovnou zachytíme všechny přípustné možnosti rozložení prvků a můžeme tak na stejném diagramu modelovat různé situace. My budeme nejčastěji používat Vennův diagram pro dvě nebo pro tři množiny, pro velké počty množin jsou tyto diagramy již poměrně nepřehledné.
Ve Vennových diagramech se množiny zachycují jako část roviny ohraničená uzavřenou křivkou, v jednoduchých případech stačí kruh (tedy část roviny ohraničená kružnicí). Někdy se však používají i složitější tvary. Vennův diagram pro dvě množiny je vidět na následujícím obrázku:
Vennův diagram pro dvě množiny A a B
Dříve než si začneme ukazovat, jak na tomto diagramu vypadají jednotlivé situace a operace, bychom si měli říci, že obvykle při práci s množinami uvažujeme jen určitou skupinu prvků. Pokud např. vyjadřujeme nějaké operace s reálnými čísly pomocí množin, budeme v těchto množinách pracovat jen s reálnými čísly a prvky jako skleněný hrneček z nějaké skříňky nebo lachtan z liberecké ZOO jsou nám v takové situaci lhostejné. Obvykle tedy při konkrétní práci s množinami uvažujeme nějakou základní množinu (universum), ze které budeme prvky vybírat a množiny, s nimiž pracujeme, jsou potom jejími podmnožinami. V našem příkladu s reálnými čísly by touto základní množinou byla právě množina všech reálných čísel ℝ. Nejčastěji však budeme základní množinu značit U. Ve Vennově diagramu tuto množinu obvykle naznačujeme jako obdélník, uvnitř něhož jsou jednotlivé množiny – ukažme si předchozí Vennův diagram doplněný o základní množinu U:
Vennův diagram pro dvě množiny A a B se základní množinou U
Nyní, když máme zavedenu základní množinu, můžeme některé vztahy a operace mezi množinami doplnit symbolickým zápisem, abychom si ukázali použití symbolů, jako jsou kvantifikátory nebo logické spojky, i pro účely této kapitoly. První takový zápis najdeme níže u následujícího obrázku (i další tyto zápisy nalezneme u popisků obrázků). Tento obrázek ukazuje, jak Vennovým diagramem zachytit fakt, že množina je podmnožinou jiné množiny, konkrétně situaci, kdy B ⊆ A:
B ⊆ A ⇔ [∀(x∈U): x∈B ⇒ x∈A]
Podobně také zachytíme to, že množiny jsou disjunktní:
A ∩ B = ∅
Pozor, toto grafické znázornění neříká, že množina obsahuje prázdnou množinu, ale pouze naznačuje, že daná „část množiny“ je prázdná (neobsahuje žádné prvky). Můžeme takto pomocí jediného diagramu znázornit různé situace mezi množinami.
Kdybychom chtěli naznačit, že např. do průniku množin náleží číslo 5, vyznačíme jej jako bod v patřičném kruhu:
5 ∈ (A ∩ B)
Do Vennova diagramu můžeme také snadno zaznamenat množinové operace, které jsme si výše ukázali. Začněme například průnikem. V následujícím diagramu je zelenou barvou vyznačena množina, která je průnikem množin A a B.
A ∩ B = {x∈U; x∈A ∧ x∈B}
Operace sjednocení a rozdílu následují na dalších obrázcích:
A ∪ B = {x∈U; x∈A ∨ x∈B}
A − B = {x∈U; x∈A ∧ x∉B}
B − A = {x∈U; x∉A ∧ x∈B}
Chybí ještě doplněk. Mohli bychom si ukázat doplněk množiny B vzhledem k A (resp. množiny A vzhledem k B), samozřejmě za patřičného předpokladu B ⊆ A (resp. A ⊆ B). Diagramy pro tyto situace by vypadaly stejně jako diagramy zachycující rozdíl množin (vzpomeňme si, že platí-li B ⊆ A, pak A − B = B'A).
Máme-li však zvolenou základní množinu, často se provádí doplněk vzhledem k této základní množině. V takové situaci obvykle nezapisujeme, že doplněk děláme vzhledem k základní množině, ale např. doplněk množiny A značíme A'.
A' = {x∈U; x∉A}
Grafické znázornění množinových operací vypadá ve Vennových diagramech podobně jako na obrázcích, které jsme si ukazovali přímo u zavádění těchto operací. Zatím jsme si tedy v podstatě neukázali, v čem tkví hlavní výhody Vennových diagramů. Jejich univerzálnost, která nám pomůže si uvědomit, jaké situace mohou mezi množinami nastat, se však brzy projeví, začneme-li provádět složitější operace.
Zatím jsme s množinami prováděli pouze jednoduché operace. Zkusme je nyní zkombinovat. Abychom však nemuseli psát velká množství závorek, dohodněme se, jakou budou mít jednotlivé operace prioritu (stejně jako u čísel víme, že násobení má přednost před sčítáním). Uvažujme např. množinu A ∪ B'. V tuto chvíli neumíme říci, zda tento zápis znamená sjednocení množiny A s doplňkem množiny B anebo zda se jedná o doplněk sjednocení množin A a B. Dohodněme se, že doplněk má vyšší prioritu než ostatní operace. Uvedený zápis tedy znamená sjednocení množiny A s doplňkem množiny B, druhou zmiňovanou variantu bychom zapsali s pomocí závorek takto: (A ∪ B)'.
Uvažujme tedy množinu A ∪ B' za předpokladu, že základní množina U = ℕ, A = {4, 5, 6, 7, 8} a B = {1, 2, 3, 4}. Nyní zkusme s pomocí Vennova diagramu vyřešit, jak vlastně množina A ∪ B' vypadá. Postup bude podobný, jako když jsme vyšetřovali pravdivostní ohodnocení složených výroků. Půjdeme postupně, dokud nezískáme informaci o celé vyšetřované množině. V našem příkladu začneme doplňkem množiny B. Ten potřebujeme znát, abychom jej mohli sjednotit s množinou A. Dokud nevíme, jak tento doplněk vypadá, nemůžeme sjednocení provádět. Zakresleme tedy do Vennova diagramu množinu B':
B'
Nyní do diagramu zachytíme sjednocení s množinou A. K tomu stačí pouhé vyšrafování množiny A (druhou sjednocovanou množinu jsme vybarvili v předchozím kroku):
A ∪ B'
Z tohoto obrázku již snadno odvodíme, jaké prvky patří do množiny A ∪ B'. Jsou to právě prvky obsažené v množině reprezentované tou částí diagramu, která je zelená nebo šrafovaná. Vidíme, že takto vyznačená je většina diagramu. Proto bude možná vhodné spíše říci, které prvky do A ∪ B' nepatří. To je z diagramu zřejmé, jsou to právě ty prvky množiny B, které zároveň nejsou prvky množiny A. To jsou prvky 1, 2, 3. Všechny ostatní prvky do množiny A ∪ B' patří. Teď už můžeme zapsat, jaké prvky vyšetřovaná množina obsahuje: A ∪ B' = {x ∈ ℕ; x > 3}.
Předchozí příklad jsme samozřejmě mohli řešit i bez využití Vennových diagramů a to stejným způsobem (opět bychom si museli uvědomit, jaké jsou prvky množiny B' a jak dále vypadá ono sjednocení), avšak připravili bychom se o názorný obrázek. Ještě důležitější pro nás tyto diagramy budou, pustíme-li se do složitějších úloh a pokusíme se např. ukázat, že dvě různé kombinace množinových operací ústí v tutéž množinu.
Tyto vzorce jsou pojmenovány po britském matematikovi Augustu De Morganovi, jenž v 19. století zformuloval mnoho logických pravidel a zákonů. Ukažme si, jak vypadají tyto vzorce pro dvě množiny:
Platí tyto vzorce opravdu pro všechny množiny? Tomu sice můžeme věřit, ale nejlepší je si to ověřit. Zkusme k tomu využít Vennovy diagramy. Ty nám totiž umožňují pracovat s množinami obecně. Začneme s prvním vzorcem, zakreslíme do diagramu nejdříve jeho levou a poté i pravou stranu. Levá strana prvního vzorce je doplněk sjednocení množin. Nejdříve tedy zakreslíme sjednocení množin a potom provedeme jeho doplněk:
A ∪ B
(A ∪ B)'
Teď už víme, jaká množina se skrývá pod zápisem na levé straně rovnosti v prvním vzorci. Nyní se podívejme na jeho pravou stranu, tj. na množinu A' ∩ B'. Je to průnik doplňků, musíme tedy nejdříve najít doplňky a pak provést jejich průnik. V následujícím diagramu je žlutě označen doplněk množiny A, šrafováním je vyznačen doplněk množiny B.
Množiny A' a B'
Co je průnikem těchto dvou doplňků je zřejmé – je to ta část diagramu, která je podbarvena žlutě a zároveň je šrafovaná. Označme tuto část zeleně a podívejme se, zda se shoduje s tím, co jsme si namalovali výše u množiny (A ∪ B)':
A' ∩ B'
Diagramy jsou stejné, rovnost (A ∪ B)' = A' ∩ B' platí. Bez Vennových diagramů bychom tento vztah obecně dokazovali složitěji. Zkusme ještě ověřit platnost druhého vzorce, tj. (A ∩ B)' = A' ∪ B'. Levá strana rovnosti je tentokrát doplňkem průniku – zakreslíme nejdříve průnik a poté jeho doplněk:
A ∩ B
(A ∩ B)'
Levá strana je znázorněna, podívejme se na tu pravou. Pravá strana je sjednocením doplňků. Doplňky množin A a B jsme si již do diagramu zakreslili při ověřování předchozího vztahu:
Množiny A' a B'
Po jejich sjednocení zůstane v diagramu bílé pouze to, co nebylo obsaženo ani v jednom z těchto doplňků. Vlastní sjednocení doplňků opět vyznačíme zeleně:
A' ∪ B'
Porovnáme-li oba diagramy, zjistíme opět, že ověřovaný vztah platí (diagramy jsou shodné).
V tuto chvíli bychom už měli nejen vědět, že De Morganovy vztahy platí pro libovolné množiny (při našem ověřování jsme si množiny A a B nijak blíže nespecifikovali), ale také bychom měli mít přibližnou představu, co vlastně např. zápis (A ∩ B)' představuje.
De Morganovy vzorce však nemusíme aplikovat pouze na množiny. Vzpomeňme si na výroky. Zkusme množinu nahradit výrokem, doplněk negací, průnik konjunkcí, sjednocení disjunkcí a rovnost ekvivalencí:
Jsou tyto ekvivalence tautologiemi (jsou vždy pravdivé)? Samozřejmě, jde o zápis negace konjunkce a disjunkce. Právě v takové podobě jsme si tyto negace v kapitole o logických spojkách odvodili.
Jak již bylo řečeno v úvodu, tyto de Morganovy vzorce můžeme ověřit i jiným způsobem. Ukažme si nyní na prvním z nich – (A ∪ B)' = A' ∩ B' – jak lze v takovém případě postupovat. Nejprve ukážeme, že platí (A ∪ B)' ⊆ A' ∩ B', a poté ověříme i obrácenou inkluzi A' ∩ B' ⊆ (A ∪ B)', čímž prokážeme, že platí rovnost.
Náleží-li nějaký libovolný prvek x do množiny (A ∪ B)', tj. x ∈ (A ∪ B)', pak z definice doplňku plyne, že x ∉ (A ∪ B). Žádný prvek totiž nemůže náležet nějaké množině a zároveň i jejímu doplňku. Jestliže ale x ∉ (A ∪ B), pak x nemůže být prvkem ani množiny A ani množiny B, tj. (x ∉ A) ∧ (x ∉ B). Když prvek nějaké množině nenáleží, musí náležet jejímu doplňku. Z toho plyne, že (x ∈ A') ∧ (x ∈ B'). Tento zápis však můžeme přepsat pomocí průniku x ∈ (A' ∩ B'). Je-li totiž x prvkem obou množin, musí být i prvkem jejich průniku. Ukázali jsme, že zvolíme-li jakýkoli prvek z množiny (A ∪ B)', musí tento prvek ležet i v množině A' ∩ B'. Tím jsme ověřili první inkluzi (A ∪ B)' ⊆ A' ∩ B'.
Pro ověření obrácené inkluze stačí v tomto případě pouze otočit postup z předchozího odstavce. Jestliže je x prvkem průniku doplňků množin A a B, tj. x ∈ (A' ∩ B'), pak musí být také prvkem množin A' i B', atd. Platí-li obě inkluze, musí platit i rovnost.
Vidíme, že platnost uvedného vztahu lze prokázat i metodami, které Vennových diagramů nevyužívají. Každá z těchto metod má své výhody, největší výhodou Vennových diagramů je grafická ilustrace vztahů mezi množinami.
Zkusme si nyní pomocí Vennových diagramů ověřit ještě jiný vztah, který platí pro libovolnou dvojici množin: A − B = A ∩ B'. Levou stranu umíme znázornit hned:
A − B
Pro zkonstruování obrazu množiny na pravé straně rovnosti musíme nejdříve najít doplněk množiny B:
B' a A
Doplněk množiny B je vyznačen zeleně, množina A je vyšrafována. Průnikem je tedy množina, která je v diagramu zelená a zároveň vyšrafovaná:
A ∩ B'
Diagram pro levou a pravou stranu rovnosti se opět shoduje, rovnost skutečně platí. Podobně jako jsme u výroků zjistili, že jednotlivé logické spojky je možné nahradit kombinací jiných, vidíme totéž i u množinových operací. Tento poslední příklad ukazuje právě způsob, jak zapsat rozdíl pomocí průniku a doplňku.
Až doposud jsme si ukázali práci s Vennovými diagramy i s množinovými operacemi pouze pro dvě množiny. Ovšem v praxi se setkáváme i s podstatně většími počty množin. I na nich můžeme postupně provádět množinové operace (tak jako můžeme např. postupně sečíst tři čísla) a také pro ně můžeme použít Vennovy diagramy. Vennův diagram – jak jsme si již řekli – lze vytvořit pro libovolný konečný počet množin, my si však v této práci většinou vystačíme s diagramem pro dvě nebo pro tři množiny:
Vennův diagram pro tři množiny A, B a C
Tento diagram je opět univerzální a opět jej využijeme k ověřování různých pravidel pro práci s množinami. Zkusme například zjistit, zda je operace průniku asociativní, tedy zda platí (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
Zakreslíme nejdříve levou stranu, tj. začneme množinou A ∩ B:
A ∩ B
Co bude výsledným průnikem je asi zřejmé, přesto si však ještě vyšrafujme množinu C:
A ∩ B a množina C
Výsledným průnikem je množina, která je na obrázku výše podbarvena i vyšrafována:
(A ∩ B) ∩ C
Nyní se podívejme na pravou stranu rovnosti. Nejprve zakreslíme množinu B ∩ C:
B ∩ C
Vyšrafujme ještě množinu A:
B ∩ C a množina A
Výsledným průnikem je opět množina, která je na obrázku výše podbarvená oranžovou barvou a zároveň vyšrafovaná:
A ∩ (B ∩ C)
Pro levou i pravou stranu jsme získali stejný diagram, rovnost tedy platí. Z toho plyne, že operace průniku je asociativní. Pokud budeme postupně provádět několik průniků, nemusíme tedy používat závorky, místo (A ∩ B) ∩ C můžeme rovnou psát A ∩ B ∩ C.
Toto platí i pro sjednocení, tj. operace sjednocení je asociativní. Ověření tohoto pravidla zde provádět nebudeme, avšak je to vhodná příležitost k procvičení.
Již při zavádění operací sjednocení a průniku jsme si ukázali, že tyto operace jsou komutativní. Nyní víme, že jsou také asociativní, a tak můžeme zapsat např. následující rovnosti platící pro libovolnou trojici množin:
A ∩ B ∩ C = A ∩ C ∩ B = B ∩ A ∩ C = B ∩ C ∩ A = C ∩ B ∩ A = C ∩ A ∩ B
A ∪ B ∪ C = A ∪ C ∪ B = B ∪ A ∪ C = B ∪ C ∩ A = C ∪ B ∩ A = C ∪ A ∩ B
Podobné rovnosti bychom mohli psát také pro čtveřice množin, pětice,… Zkrátka s průnikem a sjednocením konečného počtu množin můžeme zacházet podobně jako se sčítáním a násobením u čísel. U čísel však platí také tzv. distributivní zákon – platí jeho obdoba i u množin? Zkusme to odvodit s využitím Vennových diagramů.
Máme ověřit, že platí A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), neboli že platí distributivnost průniku vůči sjednocení. Začneme nejdříve levou stranou rovnosti, zakreslíme nejprve množinu B ∪ C a množinu A, potom zachytíme jejich průnik:
B ∪ C a množina A
A ∩ (B ∪ C)
Zbývá znázornit pravou stranu rovnosti, tj. nejdříve množiny A ∩ B a A ∩ C a potom jejich sjednocení:
A ∩ B a množina A ∩ C
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Vybarvené oblasti ve výsledných diagramech jsou opět shodné, rovnost A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) platí pro libovolné tři množiny A, B a C.
Tento vztah platí i v případě, že zaměníme průniky a sjednocení, tj. budeme-li uvažovat rovnost A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Postup ověření je podobný jako v předchozím případě, proto si je nebudeme znovu ukazovat. Je to však dobré cvičení!
I u těchto vztahů o „distributivitě“ množinových operací můžeme uvažovat o variantě pro výroky (podobně jako jsme to učinili u De Morganových vzorců). Pokud zaměníme množiny za výroky, průnik za konjunkci, sjednocení za disjunkci a rovnost za ekvivalenci, získáme tautologie. Ověření lze provést např. tabulkou pravdivostních hodnot. Ukažme si tabulku pro případ [A ∧ (B ∨ C)] ⇔ [(A ∧ B) ∨ (A ∧ C)]:
| A | B | C | B ∨ C | A ∧ (B ∨ C) | A ∧ B | A ∧ C | (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) | A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Druhý případ, tj. [A ∨ (B ∧ C)] ⇔ [(A ∨ B) ∧ (A ∨ C)], si už ukazovat nebudeme, necháme ho opět k samostatnému procvičení.
V této části jsme si ukázali, že Vennových diagramů můžeme použít nejen pro grafické znázornění situací mezi množinami, ale také pro ověřování různých vztahů a obecně platných pravidel. Vennovy diagramy však mohou sloužit i pro řešení konkrétních příkladů a také ke zjednodušování složitějších množinových zápisů.
Příklady, které si ukážeme, je možné řešit i bez Vennových diagramů, my si ale ukážeme, jak nám tyto diagramy mohou řešení ulehčit a zjednodušit.
Malá firma má 25 zaměstnanců, z toho 12 zaměstnanců má řidičský průkaz, 8 zaměstanců má svářečský průkaz. 10 zaměstnanců nevlastní ani jeden z těchto průkazů. Kolik zaměstnanců firmy má svářečský i řidičský průkaz zároveň?
Za základní množinu U vezmeme množinu všech zaměstnanců firmy. Je zřejmé, že |U| = 25. Dále budeme uvažovat množinu Ř všech zaměstnanců vlastnících řidičský průkaz a množinu S všech zaměstanců, kteří mají svářečský průkaz. Platí tedy |Ř| = 12 a |S| = 8. Teď vše zakresleme do Vennova diagramu:
Vennův diagram k Příkladu 1
Proberme si, co reprezentují jednotlivé části diagramu. Množina Ř je zde složena ze dvou částí – žluté a zelené, množina S je složena ze zelené a modré. Zelená část označuje množinu Ř ∩ S, což je množina zaměstnanců, kteří mají současně řidičský i svářečský průkaz. Mohutnost této množiny je pro nás klíčová, je totiž řešením úlohy. Zatím ji však neznáme. Je zde však jedna množina, jejíž mohutnost známe a jíž jsme zatím nezmínili. Jakou množinu reprezentuje bílá část diagramu? Je to množina (Ř ∪ S)', jinak ji můžeme zapsat také jako U − (Ř ∪ S). To je množina zaměstnanců, kteří nevlastní ani jeden z průkazů. Její mohutnost ze zadání známe, ta je 10. Deset zaměstanců tedy spadá do „bílé části“ diagramu, zbývajících 15 musí být v „barevné části“. Co je vlastně ona barevná část? To je množina Ř ∪ S neboli množina všech zaměstnanců, kteří vlastní alespoň jeden z průkazů. Dokážeme již nyní určit, kolik zaměstnanců vlastní oba průkazy?
Víme, že |Ř ∪ S| = 15, a také víme, že |Ř| = 12 a |S| = 8. Sjednocení množin obsahuje 15 prvků, součet počtů prvků množin Ř a S je však 12 + 8 = 20. Z toho je zřejmé, že tyto množiny musí mít několik společných prvků – konkrétně je to 20 − 15, tedy 5 prvků. Neboli |Ř ∩ S| = 5. Množina Ř ∩ S je právě ona zelená část diagramu, neboli množina zaměstnanců vlastnících oba průkazy. Oba průkazy tedy vlastní 5 zaměstnanců.
Do hudební školy chodí 200 žáků. 80 žáků hraje na housle nebo na klavír, 189 žáků hraje na nejvýše jeden z těchto nástrojů. Na klavír hraje o 13 žáků víc než na housle. Kolik žáků hraje na oba nástroje a kolik klavíristů nehraje na housle?
Základní množinou U bude tentokrát množina všech žáků navštěvujících hudební školu. Dále označme K množinu všech tamějších klavíristů a H množinu všech houslistů navštěvujících školu. A zakresleme vše do Vennova diagramu:
Vennův diagram k Příkladu 2
Co obsahují jednotlivé barevně vyznačené množiny? Žlutá značí žáky, kteří chodí na klavír, ale nehrají na housle. Modrá naopak značí houslisty, kteří nechodí na klavír. Zelená potom označuje ty, kteří hrají na oba nástroje, tj. množinu K ∩ H. Žlutá a zelená dohromady značí množinu K, modrá a zelená pak množinu H. Bílá část diagramu značí množinu žáků, kteří nehrají ani na jeden z těchto nástrojů.
Shrňme si, co víme ze zadání. Do školy chodí celkem 200 žáků, tj. |U| = 200. Dále víme, že 80 žáků hraje na klavír nebo na housle (pozor, spojka nebo zde není ve smyslu vylučovacím, tento počet tak zahrnuje i žáky, kteří hrají na oba nástroje). Tedy platí |K ∪ H| = 80. Také víme, že |K| = |H| + 13. Jakou část diagramu zachycuje 189 žáků, kteří chodí nejvýše na jeden ze zmiňovaných nástrojů? Jsou to vlastně všichni žáci, kteří navštěvují školu ale zároveň nehrají na oba nástroje. To znamená, chceme-li tuto množinu zachytit (v našem případě šrafováním), bude zabírat celý diagram kromě množiny K ∩ H:
Doplněný Vennův diagram k Příkladu 2
Pro jistotu si naše dosavadní poznatky ještě shrňme do tabulky:
| Množina | Mohutnost | Vyznačení v diagramu |
|---|---|---|
| U | 200 | celá plocha diagramu |
| K | |H| + 13 | žlutá + zelená |
| H | ??? | modrá + zelená |
| K ∪ H | 80 | žlutá + zelená + modrá |
| K ∩ H | ??? | zelená |
| K − (K ∩ H) | ??? | žlutá |
| H − (K ∩ H) | ??? | modrá |
| U − (K ∪ H) neboli (K ∪ H)' | ??? | bílá |
| U − (K ∩ H) neboli (K ∩ H)' | 189 | šrafování |
Na mohutnosti kterých množin se ptá zadání úlohy? Na mohutnost množiny vyznačené zeleně K ∩ H (žáci hrající na oba nástroje) a množiny vyznačené modře K − (K ∩ H) (klavíristé nehrající na housle). Ani u jedné z těchto množin zatím neznáme počet prvků, z toho, co vše již víme, jej však zvládneme vypočítat. Začněme s množinou K ∩ H. Víme, že |(K ∩ H)'| = 189. Neboli, že z 200 žáků reprezentovaných množinou U jich 189 spadá do množiny vyznačené šrafováním (K ∩ H)'. Zbývajících 11 tak nutně musí spadat do zelené množiny, tedy do množiny K ∩ H. Její mohutnost je tedy 11, neboli 11 žáků hraje na oba nástroje.
Zbývá vyřešit, kolik žáků náleží do modré části diagramu. Na to si můžeme sestavit jednoduchou soustavu rovnic. Pro zjednodušení si označme počet prvků (žáků) ve žluté části ž, v modré části pak m. Počet prvků v zelené části již známe, ten je 11. Nyní můžeme sestavit soustavu rovnic:
| ž + m + 11 | = | 80 |
| ž + 11 | = | m +11+ 13 |
První rovnice říká, že 80 žáků hraje alespoň na jeden z nástrojů (víme ze zadání), druhá pak tvrdí, že počet klavíristů (včetně těch, kteří hrají i na housle) je o 13 vyšší, než počet houslistů (opět včetně těch, kteří hrají na klavír). Je však ve druhé rovnici nutné uvažovat i ty, kteří hrají na oba nástroje? Není, protože kláviristů hrajících na housle je stejně jako houslistů hrajících na klavír. Jsou to přece ti samí žáci. Nebudeme-li tyto žáky uvažovat, zbývajících klavíristů bude stále o 13 víc než zbývajících houslistů. I v případě, že bychom na tuto úvahu nepřišli, jistě bychom si druhou rovnici zjednodušili, protože odečtení jedenáctky od obou jejích stran se přímo nabízí. Zjednodušená soustava tedy vypadá takto:
| ž + m + 11 | = | 80 |
| ž | = | m + 13 |
Z této soustavy již snad vypočteme, že ž = 41, a tedy že klavíristů, kteří zároveň nechodí na housle, je 41.
Autosalon prodává automobily několika značek. Za poslední měsíc bylo prodáno celkem 61 vozů. Automobilů vybavených klimatizací bylo prodáno třikrát více, než automobilů značky Škoda. Automobilů Škoda, které nebyly vybaveny klimatizací, bylo prodáno o 6 méně než škodovek s klimatizací. Aut, která nenesla značku Škoda a zároveň nebyla vybavena klimatizací, bylo prodáno o 3 více, než automobilů Škoda bez klimatizace. Kolik bylo prodáno škodovek? Kolik bylo prodáno klimatizovaných vozů jiné značky než Škoda?
Opět si nejdříve zavedeme několik množin. Za základní množinu U budeme považovat množinu všech aut prodaných v autosalonu za poslední měsíc. Množina Š bude množina všech prodaných vozů Škoda, množina K bude množina všech klimatizovaných vozů. Vennův diagram pro tuto úlohu tak bude velmi podobný těm, které jsme uváděli u předchozích úloh:
Vennův diagram k Příkladu 3
Již nebudeme rozebírat, jakou množinu reprezentuje která barva, je to obdobné, jako u předchozích úloh. Na rozdíl od nich zde ale známe pouze jedno konkrétní číslo, a to celkový počet prodaných aut, neboli |U|. Ostatní údaje už nám udávají pouze vztahy mezi jednotlivými množinami, nezbývá nic jiného, než začít tvořit soustavu rovnic. Rovnou si tedy zavedeme několik neznámých pro jednotlivé barevné množiny. Proměnná ž bude značit počet prvků žluté množiny (neklimatizované škodovky), z zelené (klimatizované škodovky), m modré (klimatizované vozy jiných značek) a b bílé (neklimatizované vozy jiných značek) množiny.
Hodnoty kterých neznámých potřebujeme zjistit, abychom úlohu vyřešili? Počet prodaných škodovek je ž + z, počet prodaných klimatizovaných „neškodovek“ je m. Nyní budeme sestavovat soustavu rovnic, abychom hodnoty těchto neznámých získali.
Budeme postupně do rovnic zapisovat jednotlivé informace ze zadání. První rovnicí můžeme zachytit celkový počet prodaných vozů: ž + z + m + b = 61. Dále víme, že klimatizovaných vozů bylo prodáno třikrát více než škodovek: z + m = 3 (ž + z). Další rovnice se týká automobilů Škoda s klimatizací a bez ní: ž + 6 = z. A zbývá poslední vztah uvedený v zadání: b = ž + 3.
Výsledná soustava je:
| ž + z + m + b | = | 61 |
| z + m | = | 3(ž + z) |
| ž + 6 | = | z |
| b | = | ž + 3 |
Nezbývá než tuto soustavu vyřešit, vhodnými úpravami je to velmi rychlé. Zjistíme, že ž = 5, z = 11, m = 37 a b = 8. Za poslední měsíc bylo tedy prodáno 16 vozů Škoda a 37 klimatizovaných vozů jiných značek.
Podobně mohou být zadány i úlohy vedoucí na větší počet množin, a tedy i na složitější Vennův diagram a složitější soustavu rovnic. U Vennova diagramu pro 3 množiny bychom se tak mohli dostat až k soustavě osmi rovnic o osmi neznámých, která by už pravděpodobně byla poměrně obtížně řešitelná. Pokud však zadání obsahuje konkrétní počty prvků u více částí množin, můžeme se těmto výpočtům vyhnout jako v následující úloze.
Do třídy 5.A chodí 30 žáků. Hudební školu z této třídy navštěvuje 6 žáků, do modelářského kroužku chodí o 5 žáků více než do hudební školy. Dramatický kroužek navštěvuje o tři žáky méně, než kroužek modelářský. Dva žáci chodí do modelářského kroužku i hudební školy, žádný žák nechodí zároveň do dramatického i modelářského kroužku. 10 žáků nechodí do žádného kroužku. Kolik žáků navštěvuje dvě ze zmíněných zájmových činností?
Základní množinou U bude množina všech žáků třídy. Dále zavedeme množinu H žáků chodících do hudební školy, množinu M žáků navštěvujících modelářský kroužek a množinu D žáků navštěvujících dramatický kroužek. Vše zaznamenáme do Vennova diagramu pro 3 množiny:
Vennův diagram k Příkladu 4
Opět zavedeme neznámé pro počet prvků množinách vyznačených jednotlivými barvami – ž pro žlutou, m pro modrou, č pro červenou, z pro zelenou, o pro oranžovou, f pro fialovou, h pro hnědou a b pro bílou.
U některých těchto neznámých rovnou známe jejich hodnoty. Víme, že b = 10. Protože žádný žák nenavštěvuje zároveň dramatický a modelářský kroužek, víme také, že z = 0 a také h = 0 (nenavštěvuje-li žádný žák dohromady tyto dva kroužky nemůže žádný navštěvovat ani všechny tři zároveň). Dále víme, že o = 2. Z osmi neznámých nám zbývají čtyři, pro ně již začneme vytvářet rovnice.
Hudební školu navštěvuje 6 žáků, tj. č + o + h + f = 6. Dosadíme-li již zjištěné hodnoty neznámých, získáme rovnici: č + 2 + f = 6, neboli č + f = 4. Do modelářského kroužku chodí o 5 žáků více, než do hudební školy, tedy 11. Z toho získáváme ž + o + h + z = 11. Po dosazení za o, h a z dostaneme ž + 2 = 11. Tím jsme vypočítali další proměnnou, ž = 9. Dramatický kroužek navštěvuje 8 žáků (11 − 3), rovnice bude m + z + h + f = 8. Po dosazení za z a h dostáváme m + f = 8.
Nesmíme také zapomenout na celkový počet studentů. Víme, že celkem je ve třídě 30 studentů, z toho ale 10 nenavštěvuje žádný kroužek. Na kroužky zbývá 20 studentů, tedy č + o + h + f + m + z + ž = 20. Po dosazení již zjištěných hodnot a úpravě získáme rovnici: č + m + f = 9.
Můžeme zapsat soustavu:
| č + f | = | 4 |
| m + f | = | 8 |
| č + m + f | = | 9 |
Tuto soustavu snadno dořešíme. K odpovědi na zadání nám navíc z této soustavy stačí znát pouze hodnotu neznámé f, která je 3, dále neznámých z a o, jejichž hodnoty jsme již určili. Výsledkem je součet těchto neznámých, neboli dvě zájmové činnosti navštěvuje 5 žáků z 5.A.
Na závěr si ukážeme ještě jeden příklad z jiného soudku.
Zjednodušte následující množinový zápis: [C ∪ (A ∩ C)] ∪ [A ∪ [B ∩ (A ∪ B)]]
Tento typ úloh můžeme řešit postupnými úpravami podle různých pravidel pro operace s množinami nebo třeba úvahou. My si však ukážeme, jak takovou úlohu vyřešit pomocí Vennova diagramu.
Výsledek tohoto množinového zápisu se budeme snažit zachytit do Vennova diagramu a z něj poté odvodit jednodušší zápis. Budeme postupně zakreslovat jednotlivé operace od nejvnitřnějších závorek. Celý zápis je vlastně sjednocením dvou množin zapsaných opět složitými zápisy. Začněme s levou stranou tohoto sjednocení, tj. s množinou C ∪ (A ∩ C). Nejdříve zakreslíme průnik množin A a C a poté jej sjednotíme s množinou C:
A ∩ C
C ∪ (A ∩ C) = C
Nyní zakreslíme pravou stranu „nejvyššího“ sjednocení, tedy množinu A ∪ [B ∩ (A ∪ B)]. Začneme množinou A ∪ B, poté provedeme její průnik s množinou B a následně sjednocení s množinou A:
A ∪ B
B ∩ (A ∪ B)
A ∪ [B ∩ (A ∪ B)] = A ∪ B
Máme zakreslenu levou i pravou stranu „nejvyššího“ sjednocení, nezbývá než toto sjednocení provést:
![[C sjednoceno (A průnik C)] sjednoceno {A sjednoceno [B průnik (A sjednoceno B)]}](obrazky/venn3pr5-5.png)
[C ∪ (A ∩ C)] ∪ [A ∪ [B ∩ (A ∪ B)]]
Složitý množinový zápis jsme znázornili pomocí Vennova diagramu. Nyní se na diagram podíváme, a zkusíme vymyslet jiný jednodušší zápis, jímž by bylo možné vyznačenou množinu zapsat. V tomto případě to není těžké, jsou vyznačeny všechny tři množiny, neboli v diagramu je zachyceno jejich sjednocení. Zápis ze zadání můžeme tedy zjednodušit na zápis: A ∪ B ∪ C.
U tohoto příkladu si stejně jako u de Morganových vzorců ukažme, že Vennovy diagramy nejsou jediným možným postupem řešení. Podívejme se ještě jednou na zápis [C ∪ (A ∩ C)] ∪ [A ∪ [B ∩ (A ∪ B)]] a zkusme nad ním chvíli přemýšlet.
Nejprve můžeme zjednodušit např. tuto část: [C ∪ (A ∩ C)]. V množině A ∩ C budou pouze prvky, které mají množiny A a C společné. Z toho plyne, že všechny prvky množiny (A ∩ C) jsou zároveň prvky množiny C (není zde žádný prvek, který by do C nepatřil). Sjednocením množin C a (A ∩ C) je tak opět jen množina C, tedy (A ∩ C) = C.
Nyní vezměme druhou část: [A ∪ [B ∩ (A ∪ B)]]. Podobnou úvahou jako v předchozím případě dojdeme k závěru, že [B ∩ (A ∪ B)] = B (množina A ∪ B obsahuje totiž všechny prvky množiny B, po průniku s celou množinou B tak opět získáváme množinu B). Celý zápis tedy můžeme zjednodušit na C ∪ (A ∪ B), což lze přepsat jako A ∪ B ∪ C.
Zatím jsme si ukázali Vennův diagram pro dvě a pro tři množiny, zároveň jsme si řekli, že Vennův diagram lze nakreslit pro libovolný konečný počet množin. Pokud budeme chtít vytvořit Vennův diagram pro více než 3 množiny, nemůžeme již množiny zachycovat pouze pomocí kruhů, ale musíme použít i jiné tvary, resp. části roviny vymezené složitějšími uzavřenými křivkami. Existují algoritmy, jak vytvořit Vennův diagram pro libovolný konečný počet množin, my se zde ale omezíme pouze na ukázku příkladů, jak mohou vypadat diagramy pro čtyři a pět množin. Je také dobré si uvědomit, že při větším počtu množin se Vennův diagram díky velké nepřehlednosti stává jen obtížně použitelným.
Vennův diagram pro čtyři množiny zkonstruovaný z diagramu pro tři množiny (zeleně je zvýrazněna „čtvrtá“ množina)
Jiný Vennův diagram pro čtyři množiny
Další Vennův diagram pro čtyři množiny
Vennův diagram pro pět množin (oranžově zakreslena „pátá“ množina)
| Vztah nebo operace | Značení | Symbolické vyjádření | Vennův diagram |
|---|---|---|---|
| Podmnožina množiny | B ⊆ A | B ⊆ A ⇔ [∀(x∈U): x∈B ⇒ x∈A] | |
| Rovnost množin | A = B | A = B ⇔ [B ⊆ A ∧ A ⊆ B] |  |
| Průnik množin | A ∩ B | A ∩ B = {x∈U; x∈A ∧ x∈B} | |
| Sjednocení množin | A ∪ B | A ∪ B = {x∈U; x∈A ∨ x∈B} | |
| Rozdíl množin | A − B | A − B = {x∈U; x∈A ∧ x∉B} | |
| Doplněk množiny (vzhledem k základní množině U) |
A' | A' = {x∈U; x∉A} | |