Omezenost posloupnosti

Definice

Řekneme, že posloupnost \((a_n)\) je shora omezená právě tehdy, když

\(\exists h \in R \forall n \in D\), platí \(a_n \le h\)
Obr. 3.5: Graf shora omezené posloupnosti
Obr. 3.5: Graf shora omezené posloupnosti
Příklady

\(\{1, 0, -1, -2, -3, \ldots \}\)
\(a_n = -2^n\)
\(a_n = a_{n - 1} - 23\), \(a_1 = 1\)

Definice

Řekneme, že posloupnost \((a_n)\) je zdola omezená právě tehdy, když

\(\exists d \in R \forall n \in D\), platí \(a_n \ge d\)
Obr. 3.6: Graf zdola omezené posloupnosti
Obr. 3.6: Graf zdola omezené posloupnosti
Příklady

\(\{-1, 1, 3, 5, 7, \ldots \}\)
\(a_n = 5n^2 - 13\)
\(a_n = a_{n - 1} + 5\), \(a_1 = 1\)

Definice

Řekneme, že posloupnost \((a_n)\) je omezená právě tehdy, když je shora i zdola omezená, tedy když

\(\exists h \in R \exists d \in R \forall n \in D\), platí \(d \le a_n \le h\)
Obr. 3.7: Graf omezené posloupnosti
Obr. 3.7: Graf omezené posloupnosti
Příklady

\(\{-1, 1, -1, 1, -1, \ldots \}\)
\(a_n = \sin(n)\)
\(a_{n + 2} = {(a_{n + 1} + a_n) \over 2}\), \(a_1 = -1\), \(a_2 = 1\)