Kvadratické formy 2018/19
V roce 2018–19 učím přednášky Kvadratické formy a třídová tělesa I, II (ZS a LS, povinně volitelné pro Mgr. struktur).
Zkouška bude ústní s cca 30–60 minutami na přípravu jedné nebo dvou otázek.
Zkouškové termíny jsou vypsané v SISu; pokud vám vůbec nevyhovují, ozvěte se a zkusíme se domluvit. V druhé půlce záři ještě nejspíš vypíšu jeden termín.
Letní semestr
Dokončili jsme část o Hilbertově třídovém tělese a jeho využití pro studium prvočísel tvaru x^2+ny^2 podle kapitoly 5 z Coxe, a potom jsme se věnovali souvislostem kvadratických forem nad tělesem p-adických čísel Q_p a nad racionálními čísly podle Serreho A course in arithmetic, kapitoly 2–5.
Konzultace
Pokud máte zájem o konzultaci, dejte mi vědět osobně nebo emailem.
Průběh přednášky
v zimě
18. 12. Izomorfismus grupy tříd forem a ideálů (podle §7B z Coxe)
11. 12. Přehled algebraické teorie čísel (část §5A z Coxe)
4. 12. struktura rodů (§3B z Coxe), počet rodů a aplikace (3.15 a 3.22 z Coxe)
27. 11. skládání a grupa tříd forem (§3A z Coxe)
20. 11. Rody forem a skládání (§2C a začátek 3A z Coxe)
13. 11. 3. Binární formy, redukce, třídy (§2A a 2B z Coxe)
30. 10. kvaterniony a věta o 4 čtvercích pdf
23. 10. čísla tvaru x^2+y^2+2z^2, univerzální diagonální formy a věta 15
16. 10. redukce binárních a ternárních forem, součet 3 čtverců
9. 10. Dokončení p=x^2+2y^2. 2. Determinant, ternární kladné formy, mříž přiřazená kvadratické formě
2. 10. 1. úvod, základní definice, matice přiřazená kvadratické formě, ekvivalence forem, charakterizace prvočísel tvaru x^2+2y^2 počítáním v Z[sqrt -2]
Anotace
Zima
Kvadratické formy s celočíselnými koeficienty tvoří centrální část teorie čísel – například studium toho, která prvočísla jdou vyjádřit ve tvaru x^2+ny^2, vedlo postupně k rozvoji řady klíčových nástrojů algebraické teorie čísel, od studia číselných těles až po teorii třídových těles a modulárních forem. Cílem přednášky je vyložit základy aritmetické teorie kvadratických forem, zejména s ohledem na otázky týkající se reprezentace celých čísel včetně využití teorie třídových těles.
Léto
Teorie třídových těles, která výrazným způsobem zobecňuje zákon kvadratické reciprocity, tvoří základ pro řadu pokročilejších oblastí teorie čísel včetně Langlandsova programu. V zásadě v ní jde o popis abelovských rozšíření číselných těles a p-adických čísel. Během přednášky vyložíme hlavní tvrzení této teorie pro globální nebo lokální tělesa včetně hlavních nástrojů pro jejich důkazy a různých aplikací, zejména na strukturu číselných těles a kvadratických forem. Konkrétní volba probraných témat bude záviset na zájmu posluchačů.
Literatura
Leonard Eugene Dickson, Modern Elementary Theory of Numbers, Chicago, 1939.
David A. Cox, Primes of the Form x^2+ny^2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication, Wiley, 1989. djvu
Manjul Bhargava, On the Conway-Schneeberger fifteen theorem, Contemp. Math. 272, 27 – 37.
James A. Milne, Class Field Theory, online.
Serge Lang, Algebraic Number Theory, GTM 110, 1994.
David A. Cox, Primes of the Form x^2+ny^2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication, Wiley, 1989. djvu
Manjul Bhargava, On the Conway-Schneeberger fifteen theorem, Contemp. Math. 272, 27 – 37.
James A. Milne, Class Field Theory, online.
Serge Lang, Algebraic Number Theory, GTM 110, 1994.
J.-P. Serre, A course in arithmetic
W. K. Chan, Arithmetic of quadratic forms
Má přednáška z roku 2015 na podobné téma.
