Úvod do algebraické teorie čísel 2018/19

Letní semestr 2018/19

Cílem předmětu je probrat klíčové vlastnosti číselných těles. Budeme předpokládat některé základní pojmy z přednášky Komutativní okruhy, ale téměř nic z teorie čísel.

Základy (zejména jednoznačnou faktorizaci na součin prvoideálů) budou podle kapitoly 12 z [IR], a potom se pustíme do [Mi]: popis prvoideálů (konec kapitoly 3), konečnost třídové grupy (kapitola 4) a struktura grupy jednotek (kapitola 5). Získané výsledky ilustrujeme na příkladech kvadratických a cyklotomických těles a aplikujeme na řešení diofantických rovnic. Pokud nám zbude čas (nejspíš ne), tak probereme ještě něco ze struktury lokálních těles a Galoisových grup ([Mi], kapitoly 7, 8).

Zkouška bude ústní s cca. 30-60 minutami na přípravu jedné nebo dvou otázek.

Zkouším jen to, co jsme probrali. K větě o větvení prvočísel a k Dirichletově větě o jednotkách stačí znění a základní příklady, jejich důkazy nezkouším.

Zkouškové termíny jsou vypsané v SISu; pokud vám vůbec nevyhovují, ozvěte se (včas!) a zkusíme se domluvit.

Konzultace

Pokud máte zájem o konzultaci, dejte mi vědět osobně nebo emailem.

Průběh přednášky

7. 5. Dirichletova věta o jednotkách, Pellova rovnice (Mi 84-86, 90)

23. 4. dokončení důkazu Minkowského meze (Mi 76-80)

16. 4. aplikace Minkowského meze, mříže (Mi 71-75)

9. 4. norma ideálů, Minkowského mez (Mi strany 67-70)

26. 3. důkaz [Mi věta 3.41], větvení prvočísel (Mi věta 3.35)

19. 3. rozklady prvočísel (IR 12.3) a jejich hledání (Mi věta 3.41)

12. 3. jednoznačné rozklady, úvod k větě efg (IR, 12.2 a začátek 12.3)

5. 3. existence celistvé báze, Dedekindovskost, krácení ideálů (IR 12.2)

26. 2. Diskriminant (Drápal II.5)

19. 2. Úvod, norma a stopa (Drápal II.5)

Literatura

[IR] K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics 84 (Second Edition)

[Mi] J. Milne, Algebraic Number Theory, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ant.html

Poznámky Andrewa Kozlika (pokrývající trochu jiná témata, než co budeme probírat letos)
Skripta z Komutativních okruhů Aleše Drápala

Diplomka Maroše Hrnčiara o řešení diofantických rovnic (a hledání třídových grup)

Můj loňský web (letos to bude skoro stejné).