Teorie čísel 2022/23
NMMB206
Letní semestr 2022/23
Přednáška pondělí 12:20 v K2
Cvičení s Kubou Krásenským čtvrtek 15:40, 17:20 v K5
Skripta jsou oproti verzi z loňska doplněná o řešení příkladů (kapitoly 6 a 7 si ale spíš netiskněte). Neplánuji další velké změny, na nějaké drobnosti ale možná ještě dojde.
Cílem předmětu je probrat základy teorie čísel: Začneme aproximacemi reálných čísel pomocí řetězových zlomků a Pellovou rovnicí. Dále využijeme komplexních čísel k řešení diofantických rovnic a důkazu zákona kvadratické reciprocity. Ke konci semestru se podíváme na rozložení prvočísel a strukturu grup počítání modulo n Z_n a její aplikace testování prvočíselnosti. Primárně budeme používat má skripta.
Zkouška
Zkouška bude písemná s několika teoretickými i početními otázkami pokrývajícími látku probranou na přednášce a cvičení. Písemka bude na 90 minut, smí se u ní používat (ne přehnaně inteligentní) kalkulačky.
Po písemce může velmi výjimečně následovat ústní dozkoušení, zejména v případě distančního konání zkoušky (nebo při nejasnostech v prezenční písemce nebo hraničním počtu bodů).
Viz diskusi pro více informací.
Zápočet není potřeba ke konání zkoušky.
Web cvičení
K získání zápočtu bude třeba úspěšně vyřešit 4 sady domácích úkolů (zadaných na cvičeních): Konkrétně bude třeba získat aspoň 40 % bodů z každé sady a aspoň 70 % bodů dohromady.
Po dohodě s cvičícím je možné i opravné získání zápočtu za vyřešení většího množství úkolů po termínu.
Konzultace
Pokud chcete cokoli probrat, napište mi email (pokud by šlo o něco rozsáhlejšího, můžeme se domluvit naživo nebo na zoom).
Neváhejte také využívat diskusní dokument.
Průběh přednášky
Odkazy jsou na má skripta; přehled toho, co nezkouším, je v diskusi
22. 5. míjení involucí, proč Rabin-Millerův test funguje (sekce 5.8, 5.9)
15. 5. primitivní prvky, Rabin-Millerův test (sekce 5.6, 5.7)
8. 5. státní svátek
1. 5. státní svátek
24. 4. 5. pravděpodobnostní testy prvočíselnosti (sekce 5.1 – 5.5, část sekce 5.6 po lemma 5.4 včetně)
17. 4. okruh Z[zeta_p] a důkaz kvadratické reciprocity, Jacobiho symbol, aplikace na p=a^2+2b^2 (dokončení kapitoly 4)
10. 4. státní svátek
3. 4. charaktery a Gaussovy součty (sekce 4.2, 4.3), začátek sekce 4.4 (formulace věty 4.11, důkaz tvrzení 4.12)
27. 3. 4. kvadratické zbytky, charaktery (sekce 4.1 a začátek sekce 4.2 – před tvrzení 4.6)
20. 3. speciální případ věty o prvočíslech v aritmetické posloupnosti, ireducibilita cyklotomických polynomů (dokončení kapitoly 3)
13. 3. 3. gaussovská celá čísla, cyklotomické polynomy (sekce 3.1 a začátek sekce 3.2 po znění tvrzení 3.5)
6. 3. dobré aproximace, periodické řetězové zlomky a Pellova rovnice (sekce 2.6 – 2.8)
27. 2. řetězové zlomky, sblížené zlomky (sekce 2.4, 2.5)
20. 2. Bertrandův postulát, 2. aproximace reálných čísel, existence řešení Pellovy rovnice (věta 1.8; sekce 2.1 – 2.3)
13. 2. 1. úvod, Čebyševovy odhady, valuace (sekce 1.1, 1.2, 1.3; zbývá dodělat důkaz věty 1.8)
Literatura
Skripta jsou oproti verzi z loňska doplněná o řešení příkladů (kapitoly 6 a 7 si ale spíš netiskněte). Neplánuji další velké změny, na nějaké drobnosti ale možná ještě dojde.
Skripta Aleše Drápala (pozor, občas něco dělají jinak než my na přednášce a obsahují drobné překlepy)
Skripta Martina Klazara
Zuzana Masáková, Edita Pelantová, Teorie čísel, skripta pro FJFI ČVUT
Můj loňský web. Předloňský web David Stanovského. Letošní přednáška jim bude podobná.
Dřívější weby Honzy Žemličky a Štěpána Holuba.
Příklady z mých prehistorických cvičení najdete tady.