Number Theory Seminar 2015/16

24. 5. Adam Stejskal, Faktorizace Dedekindových zeta funkcí kvadratických číselných těles [Factorization of Dedekind zeta-funktions of quadratic number fields]

Dedekindova zeta funkce je zobecněním Riemannovy zeta funkce pro konečná rozšíření racionálních čísel. V případě abelovských rozšíření lze příslušnou Dedekindovu zeta funkci rozložit na součin Dirichletových L-funkcí. V přednášce zopakuji některé pojmy týkající se Riemannovy zeta funkce a posléze se budu věnovat faktorizaci zeta funkcí kvadratických číselných těles.

17. 5. Josef Svoboda, Univerzální kvadratické formy nad bikvadratickými tělesy [Universal quadratic forms over biquadratic fields]

Na přednášce se seznámíme s bikvadratickými tělesy, budeme zkoumat jejich celistvé prvky a jednotky. Dále se budeme zabývat aditivně nerozložitelnými prvky, a ty následně použijeme k řešení otázky, kolik nejméně proměnných musí mít kvadratická forma nad bikvadratickým tělesem, aby reprezentovala všechny (kladné) prvky.

10. 5. Tomáš Kepka, Thueho lemma a Fermatova vánoční věta [Thue’s lemma and Fermat’s Christmas theorem]

3. 5. Víťa Kala, Úvod do Langlandsova programu [Introduction to the Langlands program]

Langlandsův program je série domněnek, které zásadním způsobem zobecňují teorii třídových těles v jazyce reprezentací Galoisových a Lieových grup. Zasahují do (téměř) všech oblastí teorie čísel, například odvozením jejich velmi speciálního případu dokázali Wiles a Taylor v roce 1995 velkou Fermatovu větu. Na přednášce vysvětlím a motivuji některé z těchto domněnek a souvisejících pojmů.

26. 4. Pavel Čoupek, Kvazieuklidovské obory integrity [Quasi-Euclidean domains]

Okruh R nazveme kvazieuklidovský, pokud pro každou dvojici nenulových prvků a, b lze procesem obdobným euklidovské divizi dospět k nulovému zbytku. Přidáním požadavku na zmenšení zbytku (vzhledem k nějaké fixní normě) po každých k krocích divize dospějeme k pojmu tzv. k-krokově euklidovského okruhu.

V přednášce se zaměříme na výskyt těchto okruhů mezi okruhy celistvých prvků číselných těles, aplikace pro výpočet triviality (či obecněji velikosti) příslušných třídových grup a další číselně-teoretické souvislosti. Pokusím se také ukázat, jak lze pomocí jisté analogie Motzkinovy-Samuelovy konstrukce pro euklidovské okruhy zbavit pojem k-krokové euklidovskosti závislosti na normě.

12. 4. Jana Sotáková (Leiden & Řezno), Eliptické křivky a komplexní násobení [Elliptic curves and complex multiplication]

Eliptické křivky jsou algebraické variety zadané jednoduchou kubickou rovnicí, přesto zejména v teorii čísel zaujímají výsadní postavení. Na přednášce se budeme bavit zejména o eliptických křivkách s mnoha endomorfismy, tzv. komplexním násobením prvky nějakého imaginárního kvadratického tělesa. Na příkladech si ukážeme, jak lze teorii komplexního násobení využít k sestrojování abelovských rozšíření onoho kvadratického tělesa či jaké jiné informace dostaneme z trichotomie pohledů algebraické teorie čísel, algebraické geometrie a Riemannových ploch.

5. 4. Jaroslav Hančl (Ostrava), New asymptotic irrationality measure for e and other numbers

29. 3. Tomáš Hejda (Paris & Prague, FJFI ČVUT), Geometrical properties of spectra of complex numbers

For a real number beta>1 and a natural number m, Erdos, Joo and Komornik study distances of consecutive points in the set X^m(beta) = {sum a_j beta^j: a_j=0,1,…,m} (often called the spectrum of beta). Pisot numbers play a crucial role for the properties of X^m(beta). We will recall the most important results on X^m(beta).

Then, following the work of Zaimi, who considered X^m(gamma) with gamma in C\R and |gamma|>1, we show that for any non-real gamma and m<|gamma|^2-1, the set X^m(gamma) is not relatively dense in the complex plane.

For a class of cubic complex Pisot units gamma and m>|gamma|^2-1 we deduce that X^m(gamma) is uniformly discrete and relatively dense, i.e., X^m(gamma) is a Delone set.

For cubic gamma satisfying gamma^3+gamma^2+gamma-1=0 we determine two parameters of the Delone set X^m(gamma) which are analogous to minimal and maximal distances for the real case X^m(beta). We give an algorithm for determining these parameters for the whole class.

22. 3. Martin Čech, Euklidovské důkazy Dirichletovy věty o prvočíslech v aritmetických posloupnostech [Euclidean proofs of Dirichlet’s theorem on primes in arithmetic progressions]

Dirichletova věta říká, že každá aritmetická posloupnost tvaru an+b s nesoudělnými a, b obsahuje nekonečně mnoho prvočísel. Přestože obecný důkaz využívá nástroje z analytické teorie čísel, pro některé posloupnosti lze modifikovat známý Euklidův důkaz o tom, že existuje nekonečně mnoho prvočísel. Na přednášce se podíváme na tyto příklady a řekneme si, za jakých podmínek pro a, b takový Euklidovský důkaz může existovat.

15. 3. Péter Maga (Budapest), Sup-norm of automorphic forms and a matrix-counting problem

Automorphic forms (certain generalizations of periodic functions on algebraic groups) play an important role in number theory (most remarkably, they lead to L-functions). In their analytic investigations, the sup-norm problem became popular in the past few years. In 2014, together with Valentin Blomer, we managed to solve the sup-norm problem for the group PGL(n) for any n.

In our proof, we faced a counting problem: we had to estimate the number of integral nxn matrices satisfying some elementary conditions on their orthogonality and their elementary divisors. This matrix-counting problem – in full generality – is still open. Understanding the question itself requires only a basic knowledge in linear algebra, but solving it seems to be really challenging.

I will only briefly talk about automorphy, and will mainly focus on the matrix-counting, so most of the talk will be elementary.

8. 3. Jan Šustek (Ostrava), Metody vyjadřování reálných čísel [Methods of expressing real numbers]

V přednášce budou popsány různé metody vyjadřování reálných čísel a nastíněny problémy s nimi spojené. Budou popsány například číselné soustavy s různým základem, Cantorovy řady, Engelovy řady nebo řetězové zlomky. U těchto metod budou diskutovány otázky existence a jednoznačnosti zápisu, budou ukázána jednoduchá kritéria iracionality a také budou uvedeny různé aplikace jak v matematice, tak v běžném životě.

1. 3. Jakub Hlavnička (FJFI ČVUT), Asymptotika počtu součinů prvočísel [Asymptotics for the number of prime products]

V přednášce uvedu některé ze základních výsledků analytické teorie čísel týkající se zejména prvočíselné věty a L-funkcí. Dále představím větu z nedávného článku od Dummita, Granvilla a Kisilevskyho, jež se týká asymptotiky součinů prvočísel pq takových, že chi(p)=chi(q)=1 pro daný kvadratický charakter chi. Nakonec představím vlastní výsledky, které zobecňují asymptotiku pro libovolné charaktery.

23. 2. Víťa Kala, Úvod do teorie třídových těles [Intro to class field theory]

Jedním z hlavních cílů algebraické teorie čísel je popis struktury číselných těles, čili konečných rozšíření tělesa racionálních čísel Q. Teorie třídových těles nabízí řešení tohoto problému v případě, kdy je příslušná Galoisova grupa komutativní.

Na přednášce vysvětlím základní motivaci a tvrzení této teorie; pokud bude dost času, nastíním ještě (převážně hypotetické) zobecnění pro obecná číselná tělesa v podobě Langlandsova programu.

15. 12. Jaroslav Hančl, Sidonovské množiny a posloupnosti [Sidon sets and sequences]

Množina S celých čísel je sidonovská, jestliže všechny součty dvou prvků z S jsou různé. Pokud je navíc S nekonečná podmnožina přirozených čísel, budeme jí říkat sidonovská posloupnost.

Jeden z hlavních problémů je najít největší sidonovské množiny v {1, 2, …, n}, resp. sidonovské posloupnosti s největší možnou hustotou. Dále si povíme něco o multiplikativních sidonovských množinách, sidonovských množinách v Z_n, jejich souvislost, a nakonec ukážeme i aplikaci a souvislost s kombinatorickými úlohami.

8. 12. Víťa Kala, Aditivně nerozložitelné prvky číselných těles [Additively indecomposable elements of number fields]

Totálně kladné celé číslo reálného kvadratického tělesa je (aditivně) nerozložitelné, pokud nejde napsat jako součet dvou totálně kladných celých čísel. Na přednášce popíšu strukturu nerozložitelných prvků, zejména co se týče velikosti jejich norem, a vysvětlím jejich souvislost s kvadratickými formami a význam čísla 24 009 857 226 825 282 345 490.

1. 12. Zuzana Masáková (FJFI ČVUT), Algebraické aspekty nestandardních číselných systémů [Algebraic aspects of non-standard numeration systems]

V souvislosti s pozičními číselnými soustavami s obecnou kladnou bází, jak je zavedl Rényi, se objevuje několik tříd algebraických čísel: Parryho čísla, Pisotova a Salemova čísla, Perronova čísla. Popíšeme vztahy mezi těmito třídami a ukážeme, ve kterých aspektech číselných soustav jsou tyto třídy výjimečné.

24. 11. Petr Glivický, Nestandardní metody a jejich aplikace v ramseyovské a číselné kombinatorice [Non-standard methods and their applications in Ramsey and number combinatorics]

Nestandardní metodologie poskytuje rozšíření matematického univerza o ideální (nestandardní) objekty jako například “nekonečně velké přirozené číslo”, “nekonečně malé okolí bodu” apod. Bohatá struktura vztahů mezi původními (standardními) a novými (nestandardními) objekty umožňuje popisovat a studovat standardní objekty a jejich (standardní) vlastnosti pomocí nestandardních pojmů. Ukazuje se, že takovýto nestandardní popis je v mnoha případech elegantnější a nestandardní důkazy výrazně průzračnější a kratší než jejich standardní alternativy.

V přednášce nejprve podám “Úvod do nestandardních metod pro úplné začátečníky”. Ve druhé části předvedu extrémně krátké a elegantní nestandardní důkazy několika fundamentálních kombinatoricky-číselných vět a ukážu další kombinatoricky-číselné aplikace nestandardních metod včetně následujících:

Ramseyova věta: Pro každé konečné obarvení n-tic přirozených čísel existuje nekonečná množina A přirozených čísel taková, že všechny n-tice z A mají stejnou barvu.

Hindmannova věta: Pro každé konečné obarvení přirozených čísel existuje nekonečná množina A přirozených čísel taková, že všechny součty/součiny konečně mnoha prvků z A mají stejnou barvu.

Rozkladová regularita diofantických rovnic: Diofantická rovnice (nad celými čísly) je (prostě) rozkladově regulární, pokud pro každé konečné obarvení celých čísel existuje jednobarevné (prosté) řešení.

10. 11. Martin Klazar, Skolemova-Mahlerova-Lechova věta [Skolem-Mahler-Lech Theorem]

Tato věta praví, že v každé nedegenerované lineárně rekurentní posloupnosti zlomků (a_n) – jako jsou např. Fibonacciova čísla (-3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …) – je jen konečně mnoho nul. (Pro obecnou LRP (a_n) platí, že existuje takové přir. číslo m, že každá z m podposloupností (a_{j+mn}),j=0, 1, …, m-1, je buď identicky nulová nebo obsahuje jen konečně mnoho nul.) V přednášce načrtnu důkaz SML věty, který je založen na p-adických číslech, a zmíním její různá zobecnění a aplikace.

3. 11. Kristýna Zemková, Kdy je těleso Q(sqrt D) normově-euklidovské? [When is the field Q(sqrt D) norm-Euclidean?]

Těleso je normově-euklidovské, jestliže je příslušný okruh celých algebraických čísel Euklidův (s pevně určenou normou). Pro těleso Q(sqrt D) je znám výsledek, pro která celá čísla D toto nastane.

Na přednášce začneme zlehka a popíšeme prvky okruhu celých algebraických čísel tělesa Q(sqrt D). Poté ukážeme souvislost Euklidova algoritmu s elipsami a hyperbolami, čímž celý problém rozdělíme na jednodušší a obtížnější část. Nakonec nastíníme ideu důkazu, proč je normově-euklidovských kvadratických rozšíření tělesa Q jen konečně mnoho.

20. 10. Edita Pelantová (FJFI ČVUT), K čemu slouží různé zápisy čísel [What are different number notations used for]

V přednášce představíme různé způsoby zápisu čísel a ukážeme, jak vhodný zápis umožní zrychlovat základní aritmetické operace a výpočet elementárních funkcí.

13. 10. Maroš Hrnčiar, Riešenie diofantických rovníc rozkladom v číselných telesách [Solving diophantine equations by factorization in number fields, in Slovak]

Problém riešiteľnosti diofantických rovníc je jedným z najstarších matematických problémov v histórii. Postupne boli vyvinuté rôzne prístupy na riešenie jednotlivých typov rovníc, no prednáška bude prevažne venovaná jednej metóde využívajúcej faktorizáciu v algebraickom číselnom telese. Myšlienkou tejto metódy je vyjadriť rovnicu v tvare L=y^n, kde ľavá strana L je súčin typicky lineárnych faktorov s koeficientami v danom číselnom telese. Po splnení určitých predpokladov môžeme každý z faktorov napísať ako n-tú mocninu} a úlohu previesť nariešenie jednej alebo viacerých Thueho rovníc. Na prednáške zhrnieme základné poznatky o štruktúre číselných telies a predvedieme riešenia niekoľkých značne netriviálnych príkladov, pri ktorých sa potýkame napríklad so súdeliteľnosťou faktorov, vplyvom triedovej grupy číselného telesa, či príslušnej grupy jednotiek.

6. 10. Víťa Kala, Universal quadratic forms and continued fractions

A universal form is a positive definite quadratic form with integral coefficients which represents all positive numbers – a classical example over the integers is the sum of four squares x^2 + y^2 + z^2 + w^2. I shall discuss some recent results (joint with Valentin Blomer) concerning the number of variables required by a universal form over a real quadratic field. In particular, for a given positive integer n, one can use continued fractions to construct infinitely many such fields which admit no n-ary universal forms.