\begin{align}
\end{align}
Odchylka přímek a rovin
Odchylka dvou přímek
Definice
Odchylka přímek p(P, u), q(Q, v) je číslo φ ∈ <0, π/2>, pro které platí:
\(\cosφ = \dfrac{|uv|}{|u||v|}\).
Úloha
Spočítejte odchylku dvou přímek p(A; u) a q(B; v), je-li A[8; 5; -6], B[-8; -7; 4], u = (-1; 9; 7) a v = (-1; -6; -8).
- Dosadíme do vzorce a spočítáme cosφ
\(\cosφ = \dfrac{|(-1) \cdot (-1) + 9 \cdot (-6) + 7 \cdot (-8)|}{\sqrt{(-1)^{2} + 9^{2} + 7^{2}} \cdot \sqrt{(-1)^{2} + (-6)^{2} + (-8)^{2}}} = \dfrac{|-109|}{\sqrt{13231}} \approx 0,95\) - φ ≈ 19°
Odchylka přímky a roviny
Odchylku přímky a roviny nepočítáme přímo, ale využijeme znalostí, které již máme.
Definice
Je-li přímka p kolmá k rovině ρ, je jejich vzájemná odchylka φ = π/2.
Není-li přímka p kolmá k rovině ρ, je jejich odchylka rovna odchylce přímky p a průsečnice p' rovin ρ a ψ, kde p ∈ ψ a ρ ⊥ ψ.
Poznámka
Ještě jednodušší je, sestrojit kolmici q k rovině ρ a počítat odchylku α přímek p a q. Vztah mezi hledanou a získanou odchylkou je:
φ = π/2 - α.
Pro výpočet odchylky φ přímky p(A, u) a roviny ρ(B, n) můžeme použít vzorec:
\(\sinφ = \cosα = \dfrac{|un|}{|u||n|}, φ \in \langle 0°;90° \rangle\).
Obr. 4.8: Odchylka přímky a roviny
Úloha
Spočítejte odchylku přímky p(A; u) a roviny ρ: -9x - 6y - 4z - 2 = 0, je-li A[7; 3; -2], a u = (-1; 8; -5).
- Využijeme toho, že odchylka φ přímky p a roviny ρ je rovna
π/2 - α, kde α je odchylka kolmice na rovinu ρ a přímky p. Kolmice k rovině ρ má směrový vektor roven normálovému vektoru roviny ρ, který můžeme jednoduše určit z obecné rovnice této roviny.
- Dosadíme do vzorce a spočítáme cosα
\(\cosα = \dfrac{|(-9) \cdot (-1) + (-6) \cdot 8 + (-4) \cdot (-5)|}{\sqrt{(-9)^{2} + (-6)^{2} + (-4)^{2}} \cdot \sqrt{(-1)^{2} + 8^{2} + (-5)^{2}}} = \dfrac{|-19|}{\sqrt{11970}} \approx 0,17\) - α ≈ 80°.
- φ = π/2 - α ≈ 90° - 80° ≈ 10°.
Odchylka rovin
Definice
Odchylka rovin ρ a ψ, je rovna odchylce přímek p a q, pro které platí p = (ρ ∩ σ), q = (ψ ∩ σ), kde σ je rovina kolmá na ρ i ψ.
Slovy bychom výše uvedenou definici mohli rozepsat takto:
Odchylku φ dvou rovin ρ a ψ, vypočítáme následujícím způsobem. Nejprve najdeme rovinu, která je k oběma kolmá. Tato rovina protne roviny ρ a ψ v přímkách p a q. Odchylka φ rovin ρ a ψ je rovna odchylce přímek p a q.
Podobně jako když jsme hledali odchylku přímky a roviny, můžeme využít normálových vektorů rovin ρ a ψ. Na obr. 4.9 je vidět, že přímky r a s svírají úhel stejné velikosti jako p a q. Odchylku dvou rovin můžeme tedy snadno určit pomocí jejich normálových vektorů.
Obr. 4.9: Odchylka dvou rovin
Poznámka
Pro výpočet odchylky φ dvou rovin ρ(A, nρ) a ψ(B, nψ) můžeme použít vzorec vyplývající z předchozí úvahy:
\(\cosφ = \dfrac{|n_{ρ}n_{ψ}|}{|n_{ρ}||n_{ψ}|}, φ \in \langle 0°;90° \rangle\).
Úloha
Spočítejte odchylku rovin ρ: -5x + 5y - 7z - 6 = 0 a σ: 2x - 9y - 2z + 9 = 0.
- Normálové vektory rovin ρ i σ známe. Víme, že odchylka dvou rovin se rovná odchylce jejich normálových vektorů, můžeme tedy rovnou počítat jejich odchylku φ.
- Dosadíme do vzorce a spočítáme cosφ
\(\cosφ = \dfrac{|(-5) \cdot 2 + 5 \cdot (-9) + (-7) \cdot (-2)|}{\sqrt{(-5)^{2} + 5^{2} + (-7)^{2}} \cdot \sqrt{2^{2} + (-9)^{2} + (-2)^{2}}} = \dfrac{|-41|}{\sqrt{8811}} \approx 0,44\) - φ ≈ 64°.