Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru
Násobení
Mějme dvě nenulová komplexní čísla \(a=|a|(\cos\alpha+i \sin\alpha)\) a \(b=|b|(\cos\beta+i \sin\beta)\). Jejich součin můžeme s využitím goniometrických vzorců spočítat takto:
\(a\cdot b=\big(|a|(\color{green}{\cos\alpha}+i \color{red}{\sin\alpha})\big)\cdot\big(|b|(\color{blue}{\cos\beta}+i \color{darkmagenta}{\sin\beta})\big)=|a||b|(\color{green}{\cos\alpha}+i \color{red}{\sin\alpha})(\color{blue}{\cos\beta}+i \color{darkmagenta}{\sin\beta})=\)
\(=|a||b|\big((\color{green}{\cos\alpha} \color{blue}{\cos\beta} - \color{red}{\sin\alpha} \color{darkmagenta}{\sin\beta})+i(\color{red}{\sin\alpha} \color{blue}{\cos\beta} + \color{darkmagenta}{\sin\beta} \color{green}{\cos\alpha})\big)=|a||b|\big(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\big)\)
Součin nenulových komplexních čísel \(a=|a|(\cos\alpha+i \sin\alpha)\) a \(b=|b|(\cos\beta+i \sin\beta)\) je komplexní číslo
\(|a||b|\big(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\big)\).
Příklad
Vypočítejte součin komplexních čísel \(a=2(\cos190°+i\sin190°)\) a \(b=3(\cos220°+i\sin220°)\).
Řešení
\(a\cdot b=2(\cos190°+i\sin190°)\cdot3(\cos220°+i\sin220°)=\)
\(=2\cdot3\cdot\big(\cos{(190°+220°)}+i\sin{(190°+220°)}\big)=6(\cos410°+i\sin410°)=\)
\(=6(\cos50°+i\sin50°)\)
Dělení
Podobným způsobem můžeme odvodit i dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{|a|(\color{green}{\cos\alpha}+i \color{red}{\sin\alpha})}{|b|(\color{blue}{\cos\beta}+i \color{darkmagenta}{\sin\beta})}=\dfrac{|a|(\color{green}{\cos\alpha}+i \color{red}{\sin\alpha})}{|b|(\color{blue}{\cos\beta}+i \color{darkmagenta}{\sin\beta})}\cdot\dfrac{(\color{blue}{\cos\beta}-i \color{darkmagenta}{\sin\beta})}{(\color{blue}{\cos\beta}-i \color{darkmagenta}{\sin\beta})}=\)
\(=\dfrac{|a|\big((\color{green}{\cos\alpha} \color{blue}{\cos\beta}+\color{red}{\sin\alpha} \color{darkmagenta}{\sin\beta})+i(\color{red}{\sin\alpha} \color{blue}{\cos\beta}-\color{green}{\cos\alpha} \color{darkmagenta}{\sin\beta})\big)}{|b|(\cos^2 \beta+\sin^2 \beta)}=\dfrac{|a|}{|b|}\)\(\big(\cos(\alpha-\beta)+i\sin(\alpha-\beta)\big)\)
Podíl nenulových komplexních čísel \(a=|a|(\cos\alpha+i \sin\alpha)\) a \(b=|b|(\cos\beta+i \sin\beta)\) je komplexní číslo
\(\dfrac{|a|}{|b|}\)\(\big(\cos(\alpha-\beta)+i \sin(\alpha-\beta)\big)\).
Příklad
Vypočítejte podíl \(\dfrac{a}{b}\) komplexních čísel \(a=5(\cos20°+i\sin20°)\) a \(b=2(\cos30°+i\sin30°)\).
Řešení
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{5(\cos20°+i\sin20°)}{2(\cos30°+i\sin30°)}=\dfrac{5}{2}\big(\cos{(20°-30°)}+i\sin{(20°-30°)}\big)=\)
\(=\dfrac{5}{2}\big(\cos{(-10°)}+i\sin{(-10°)}\big)=\dfrac{5}{2}(\cos350°+i\sin350°)\)
Poznámka
Goniometrický tvar komplexních čísel je výhodný pro operace násobení a dělení.
Mocnina
Pomocí násobení můžeme zavést i \(n\)-tou mocninu nenulového komplexního čísla v goniometrickém tvaru, kde \(n \in \mathbb{N}\).
\(z^{\textstyle n}=(|z|(\cos{\alpha}+i \sin{\alpha}))^{\textstyle n}=\)
\(=\underbrace{(|z|(\cos{\alpha}+i \sin{\alpha}))\cdot(|z|(\cos{\alpha}+i \sin{\alpha}))\cdots(|z|(\cos{\alpha}+i \sin{\alpha}))}_{\text{$n$}}=\)
\(=|z|^{\textstyle n}(\cos{(\underbrace{\alpha+\alpha+\dots+\alpha)}_{\text{$n$}}}+i \sin{(\underbrace{\alpha+\alpha+\dots+\alpha)}_{\text{$n$}}})=\)
\(=|z|^{\textstyle n}(\cos{(n\alpha)}+i \sin{(n\alpha)})\)
Mějme nenulové komplexní číslo \(z=|z|(\cos{\alpha}+i \sin{\alpha})\) a přirozené číslo \(n\in\mathbb{N}\), pak n-tá mocnina komplexního čísla \(z\) je komplexní číslo
\(z^{\textstyle n}=|z|^{\textstyle n}(\cos{(n\alpha)}+i \sin{(n\alpha)})\).
Pokud je \(z\) komplexní jednotkou (\(|z|=1\)), hovoříme o tzv. Moivreově větě.
Moivreova věta
Pro každé přirozené číslo \(n\) a každé reálné číslo \(\alpha\) platí:
\((\cos\alpha+i \sin\alpha)^{\textstyle n}=\cos{(n\alpha)}+i \sin{(n\alpha)}\).
V následujícím appletu můžete pohybovat obrazem komplexního čísla \(\color{red}{z}\) (které je komplexní jednotkou) a pomocí posuvníku měnit exponent, čímž se bude měnit i poloha obrazu komplexního čísla \(\color{blue}{z^{\textstyle n}}\).
Příklad
Vypočítejte pátou mocninu komplexního čísla \(a=2\left(\cos\dfrac{4\pi}{3}+i\sin\dfrac{4\pi}{3}\right)\).
Řešení
\(a^5=\left( 2\left(\cos\dfrac{4\pi}{3}+i\sin\dfrac{4\pi}{3}\right) \right)^5=2^5\left(\cos\dfrac{4\pi}{3}+i\sin\dfrac{4\pi}{3}\right)^5=\)
\(=32\left(\cos\dfrac{5\cdot4\pi}{3}+i\sin\dfrac{5\cdot4\pi}{3}\right)=32\left(\cos\dfrac{20\pi}{3}+i\sin\dfrac{20\pi}{3}\right)=32\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)\)
Úlohy
-
Vypočítejte v goniometrickém tvaru součin komplexních čísel \(x\) a \(y\):
-
Vypočítejte v goniometrickém tvaru podíl komplexních čísel \(x\) a \(y\):
-
\(x=3\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right),\; y=9\)
-
\(x=6,\; y=3\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)
-
\(x=\cos80°+i\sin80°,\; y=\sqrt{3}(\cos(-10°)+i\sin(-10°))\)
-
\(x=2(\cos50°+i\sin50°),\; y=\sqrt{2}(\cos170°+i\sin170°)\)
-
\(x=1+i,\; y=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\)
-
-
Vypočítejte následující mocniny komplexních čísel:
-
\(z^6=\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^6\)
-
\(z^{10}=\left(2\left(\cos\dfrac{3\pi}{8}+i\sin\dfrac{3\pi}{8}\right)\right)^{10}\)
-