Komutativní okruhy 2017/18
NMAG301
Zimní semestr 2017/18 (pondělí 14 v K7, čtvrtek 14 v K9)
Zimní semestr 2017/18 (pondělí 14 v K7, čtvrtek 14 v K9)
Cvičení se budou konat zhruba jednou za dva týdny na 90 minut. Podmínkou získání zápočtu je úspěšné vyřešení tří sad domácích úkolů, na jejichž vypracování budou vždy 2 týdny. Po dohodě je možné i opravné získání zápočtu za vyřešení většího množství úkolů po termínu. Zisk zápočtu není třeba pro konání zkoušky. Zkouška bude ústní s cca. 30-60 minutami na přípravu jedné nebo dvou otázek.
K přednášce také Pavel Růžička učí Proseminář z komutativních okruhů, kde se budou probírat různá rozšiřující témata.
Pokud během semestru potřebujete vyzkoušet, napište mi s předstihem email a domluvíme se. Půjde to pak taky během letního zkouškového.
Konzultace
Pokud máte zájem o konzultaci, dejte mi vědět osobně nebo emailem.
Domácí úlohy
3. sada (do 21.12.)
2. sada (do 30.11.)
1. sada (do 2.11.)
Na zápočet je potřeba získat 50 bodů z domácích úkolů (ze 75 možných). Po dohodě je možné i opravné získání zápočtu za vyřešení většího množství úkolů po termínu (ozvěte se mi případně emailem).
Průběh přednášky
11. 1. popis prvoideálů kvadratických číselných těles (Conrad sekce 8, 9)
8. 1. jednoznačný rozklad na prvoideály (Conrad sekce 7)
4. 1. dělitelnost ideálů, norma ideálu (víceméně Conrad, sekce 4, 5, 6 a začátek 7)
21.12. 7. cvičení
18.12. norma a stopa, generátory ideálů (víceméně Conrad vše po větu 4.14; na přednášce to bylo pro obecná číselná tělesa, ke zkoušce ale stačí pro kvadratická)
14.12. řešení x^2+5=y^3, motivace třídové grupy, celistvé prvky v číselných tělesech (víceméně Conrad, sekce 3)
11.12. Abelova-Ruffiniho věta (Stanovský, dokončení sekce 2), 4. řešení diofantických rovnic pomocí Z[i]: x^2+1=y^3
4.12. Řešitelnost grup a polynomů (Stanovský, sekce 2 do půlky strany 12)
30.11. Galoisova korespondence (Drápal, dokončení II.3, II.4)
27.11. jednoduchá a normální rozšíření (Drápal II.3.1 – II.3.5)
23.11. 5. cvičení
20.11. separabilní rozšíření (Drápal II.2), Galoisova grupa (Stanovský, začátek sekce 2)
16.11. 4. cvičení
13.11. algebraický uzávěr (Stanovský, sekce 1), stupeň separability (Drápal, začátek sekce II.2)
9.11. 3. kořenová a rozkladová nadtělesa (Stanovský, sekce 1), 2. domácí úloha
6.11. Hilbertova věta o nulách, ireducibilní algebraické množiny (Fulton 1.7 a 1.5)
2.11. 3. cvičení
30.10. rozšíření konečně generovaná jako okruh a jako modul (Fulton 1.8 – 1.10)
26.10. algebraické množiny a ideály, celistvé prvky (Fulton, 1.3 a 1.9)
23.10. radikály (dokončení I.3 v Drápalovi), algebraické množiny (Fulton, část 1.2 a 1.4)
19.10. 1. domácí úloha a 2. cvičení
16.10. čínská zbytková věta (Drápal do I.3.4), 2. Zornovo lemma
12.10. p-valuace a p-obsah polynomu nad gaussovským oborem R, ireducibilní prvky a gaussovskost R[x] (Drápal I.2)
9.10. opakování gaussovských oborů, moduly, noetherovské, konečně generované, Hilbertova věta o bázi (Drápal I.1 a I.2.1)
5.10. chvíle přednášky (prvoideály), potom 1. cvičení
2.10. 1. úvod, faktorokruhy, věty o izomorfismu
Seznam zkouškových otázek
Věty o izomorfismu a čínská zbytková věta
Noetherovskost, hlavní a konečně generované ideály
Gaussovskost, obsah polynomu
Zornovo lemma a radikály
Algebraické množiny a ideály
Celistvé prvky a konečně generovaná rozšíření těles
Hilbertova věta o nulách
Ireducibilní algebraické množiny
Kořenová a rozkladová nadtělesa, algebraický uzávěr
Separabilní rozšíření
Jednoduchá a normální rozšíření
Galoisova korespondence
Řešitelnost polynomů v radikálech
Algebraická teorie čísel podle tohoto textu (vše stačí znát jen pro případ kvadratických číselných těles)
Diofantické rovnice (na přednášce 11./14.12.) a základy kvadratických číselných těles
Celistvé prvky, norma, stopa, norma ideálu
Jednoznačná faktorizace a popis prvoideálů
Literatura
Skripta Aleše Drápala
Knížka William Fulton: Algebraic curves
Text Davida Stanovského o Galoisově teorii
Text Keitha Conrada o algebraické teorii čísel
Diplomka Maroše Hrnčiara o řešení diofantických rovnic (včetně úvodu do potřebné algebraické teorie čísel; značně nad rámec přednášky)
