Teorie čísel na Matfyzu

Zajímá vás teorie čísel? Na matice se jí týká docela dost přednášek, hlavně v rámci struktur a informační bezpečnosti. Chci tady některé z nich popsat coby jakýsi návod, na co a kdy chodit. S teorií čísel samozřejmě více či méně úzce souvisí řada dalších matematických oblastí: o předmětech z nich zde nepíšu, abych neopisoval celou Karolinku. Stejně tak se nezmiňuji o předmětech, které jsou povinné.

Budu rád za jakékoli komentáře nebo upozornění na předměty, na které jsem zapomněl.

1. ročník bakaláře

Proseminář z teorie čísel (0/2, léto, web)

Tento zábavný proseminář procvičuje elementární nástroje, např. kongruence, a hlavně jejich využití k řešení trochu trikových příkladů třeba o prvočíslech nebo diofantických rovnicích. Kdo řešil na střední matematickou olympiádu nebo korespondenční seminář, většinu těchto věcí už zná; cílem prosemináře je tyto postupy naučit i ostatní.

2. ročník bakaláře

Teorie čísel (2/2, léto, web 2022/23) se věnuje lehce pokročilejším tématům, která vyžadují základní algebraické nástroje. Zkoumáme rozložení prvočísel a aproximace reálných čísel pomocí řetězových zlomků. Dále využíváme komplexních čísel k řešení diofantických rovnic a důkazu zákona kvadratické reciprocity a ke konci semestru se díváme na strukturu okruhů počítání modulo n Z_n a její aplikace testování prvočíselnosti.

3. ročník bakaláře

V zimě se rozhodně vyplatí chodit na Úvod do komutativní algebry (3/1, web 2022/23), které budují potřebný algebraický aparát (např. z Galoisovy teorie) pro studium algebraické teorie čísel.

Pokročilejší přednášky (vhodné od 3. ročníku Bc. dál)

Algebraická teorie čísel (3/1, léto, https://sites.google.com/site/vitakala/teaching/20atc) potom buduje základy teorie číselných těles, neboli konečných rozšíření racionálních čísel. Ta hrají v TČ naprosto zásadní roli, např. k řešení diofantických rovnic (včetně speciálních případů velké Fermatovy věty), ale také skoro ve všech dalších oblastech.

Důležitými tématy jsou prvoideály a jednoznačné rozklady a struktura grupy tříd ideálů a jednotek.

Od roku 2020/21 je tato přednáška povinně volitelná pro NMgr. – šikovní studenti na ni ale můžou chodit už na bakaláři.

Kvadratické formy a třídová tělesa I, II (2/0 zima, 2/0 léto, web 2018/19)

Kvadratické formy s celočíselnými koeficienty tvoří centrální a krásnou část teorie čísel – jedním z problémů například je to, která prvočísla jde vyjádřit ve tvaru x^2+ny^2.

Zimní semestr se zaměřuje spíše na elementárnější metody, takže s trochou snahy by měl být srozumitelný už ve třeťáku bez znalosti Úvodu do algebraické teorie čísel. Léto pak bude pokročilejší a náročnější (ale asi také půjde zvládnout souběžně s “Úvodem”).

Tato dvojice přednášek je povinně volitelná pro NMgr. struktur a je vyučovaná každý druhý rok na střídačku s modulárními formami.

Modulární formy a L-funkce I, II (2/0 zima, 2/0 léto, web 2019/20)

Modulární formy a L-funkce jsou centrálními objekty v moderní teorii čísel, které hrály důležitou roli v důkazu velké Fermatovy věty. Jde o jisté komplexní funkce kódující zajímavé číselně-teoretické informace, např. o rozložení prvočísel, nebo počty řešení diofantických rovnic.

Tyto přednášky tvoří úvod do analytických metod v teorii čísel, takže nevyžadují moc předchozích znalostí algebry, ale místo toho využívají části komplexní analýzy vyučované v zimě třeťáku NMMA301. Opět by ale mělo být možné je zvládnout už ve třeťáku souběžně s komplexkou.

Taky tato dvojice přednášek je povinně volitelná pro NMgr. struktur a je vyučovaná každý druhý rok na střídačku s kvadratickými formami (2023/24 bude Modulární formy přednášet Gordon).

Několik dalších zajímavých přednášek učí Martin Klazar (web); překryv s těmi mými je poměrně malý.

Řada užitečných předmětů je taky vyučovaná pro účely kryptografie, například Algoritmy na polynomech, Algoritmy na mřížích, Číselné síto a Eliptické křivky.

Semináře

Pořádáme pravidelný Seminář z teorie čísel NMAG 470, kde se střídají výzkumná témata se studenty prezentujícími své bakalářky a diplomky. K oznamování programu semináře máme emailový list: pokud na něj chcete přidat, napiš mi email. Zajímavé také je Algebraické kolokvium NMAG 581 s širším záběrem témat, které funguje od roku 2021/22. 

Kromě toho organizujeme taky Studentský seminář z teorie čísel NMAG 477 věnovaný řešení otevřených problémů studenty.

U všech seminářů se hodí znalost třeťáckých přednášek, ale dají se zvládat i zároveň s nimi.

Bakalářky a diplomky

TČ samozřejmě nabízí řadu krásných témat na bakalářku nebo diplomku, ať už orientovanou čistě teoreticky směrem k budoucímu výzkumu, tak praktičtěji zaměřenou na témata související s kryptografií (o kterých ale u nás na Katedře algebry toho ví mnozí víc než já).

Dobré je udělat si předem z přednášek a wikipedie aspoň lehkou představu o tom, co by vás zhruba zajímalo, a pak to s potenciálním vedoucím osobně probrat a domluvit se na vhodném tématu. Nebo zkuste tento populární článek (většina témat z něj je ale na bakalářku moc složitá). Vedení studentů mě baví, takže se klidně přijďte pobavit, i pokud ještě pořádně nevíte, jestli chcete vůbec dělat teorii čísel.

Stejně jako u ostatních oblastí matiky (a možná i trochu víc než jinde) zde platí, že je dobré se na tématu aspoň předběžně domluvit co nejdřív – na konci druháku pro Bc. a v půlce prváku NMgr. Ale klidně i dřív!

Potom se samozřejmě dá pokračovat i na doktorát; KA pro něj nabízí (i finančně) velmi dobré podmínky. I přesto ale většině lidí fakt silně doporučuju, aby si radši šli rozšířit obzory do zahraničí. TČ takhle v Americe, Německu nebo Kanadě studuje už leckdo z Matfyzu 🙂