Teorie čísel 2021/22

NMMB206
Letní semestr 2021/22
Přednáška středa 10:40 v K1
Cvičení s Martinem Raškou pondělí 9:00 v K4, 12:20 v K2

Skripta jsou hotová víceméně do konce (místy ale asi ještě udělám drobné úpravy). Díky upozornění na chybu v sekci 2.6 z diskuse jsem ji opravil; případně je původní verze (=jako na přednášce) sekce 2.6 ve verzi skript tady (kterou ale už dál neaktualizuji).

Cílem předmětu je probrat základy teorie čísel: Začneme aproximacemi reálných čísel pomocí řetězových zlomků a Pellovou rovnicí. Dále využijeme komplexních čísel k řešení diofantických rovnic a důkazu zákona kvadratické reciprocity. Ke konci semestru se podíváme na rozložení prvočísel a strukturu grup počítání modulo n Z_n a její aplikace testování prvočíselnosti. Primárně budeme používat má skripta, pro letošek lehce aktualizovaná.

Covid

Od 14. 3. není povinné nošení respirátorů na matfyze. Viz podrobněji tady (spolu s výzvou, ať do školy nechodí lidé s příznaky onemocnění, a doporučením k rozumnému nošení respirátorů – já ho například zatím stále plánuju většinou nosit).

Zkouška

Zkouška bude písemná s několika teoretickými i početními otázkami pokrývajícími látku probranou na přednášce a cvičení. Písemka bude na 90 minut, smí se u ní používat (ne přehnaně inteligentní) kalkulačky.

Po písemce může výjimečně následovat ústní dozkoušení, zejména v případě distančního konání zkoušky (nebo při nejasnostech v prezenční písemce nebo hraničním počtu bodů).

Viz diskusi pro více informací.

Zápočet není potřeba ke konání zkoušky.

Web cvičení
K získání zápočtu bude třeba úspěšně vyřešit 4 sady domácích úkolů (zadaných na cvičeních): Konkrétně bude třeba získat aspoň 40 % bodů z každé sady a aspoň 70 % bodů dohromady.
Po dohodě s cvičícím je možné i opravné získání zápočtu za vyřešení většího množství úkolů po termínu.

Konzultace

Pokud chcete cokoli probrat, napište mi email (pokud by šlo o něco rozsáhlejšího, můžeme se domluvit naživo nebo na zoom). 

Neváhejte také využívat diskusní dokument.

Průběh přednášky

Odkazy jsou na má skripta; přehled toho, co nezkouším, je v diskusi

18. 5. přednáška nebude (předtermín zkoušky)
11. 5. sportovní den
  4. 5. míjení involucí, proč Rabin-Millerův test funguje (sekce 5.8, 5.9)
27. 4. primitivní prvky, Rabin-Millerův test (sekce 5.5 – 5.7)
20. 4. aplikace na p=a^2+2b^2 (dokončení kapitoly 4), 5. pravděpodobnostní testy prvočíselnosti (sekce 5.1 – 5.5 po lemma 5.2 včetně)
13. 4. okruh Z[zeta_p] a důkaz kvadratické reciprocity, Jacobiho symbol (sekce 4.4, 4.5)
  6. 4. charaktery a Gaussovy součty (sekce 4.2, 4.3), začátek sekce 4.4 (formulace tvrzení 4.11 a 4.12)
30. 3. 4. kvadratické zbytky, charaktery (sekce 4.1 a začátek sekce 4.2 – před tvrzení 4.6)
23. 3. speciální případ věty o prvočíslech v aritmetické posloupnosti, ireducibilita cyklotomických polynomů (dokončení kapitoly 3)
16. 3. 3. gaussovská celá čísla, cyklotomické polynomy (sekce 3.1 a začátek sekce 3.2)
  9. 3. dobré aproximace, periodické řetězové zlomky a Pellova rovnice (sekce 2.6 – 2.8)
  2. 3. řetězové zlomky, sblížené zlomky (sekce 2.4, 2.5)
23. 2. Bertrandův postulát, 2. aproximace reálných čísel, existence řešení Pellovy rovnice (sekce 1.3, 2.2, 2.3; sekce 2.1 na cvičení)
16. 2. 1. úvod, Čebyševovy odhady, valuace (sekce 1.1, 1.2; zbývá dodělat konec důkazu lemmatu 1.6)

Literatura

Skripta jsou hotová víceméně do konce (místy ale asi ještě udělám drobné úpravy).
Skripta Aleše Drápala (pozor, občas něco dělají jinak než my na přednášce a obsahují drobné překlepy)
Skripta Martina Klazara
Zuzana Masáková, Edita Pelantová, Teorie čísel, skripta pro FJFI ČVUT

Můj předloňský web. Loňský web David Stanovského. Letošní přednáška jim bude podobná; oba weby obsahují odkazy na videa přednášek.
Dřívější weby Honzy Žemličky a Štěpána Holuba.
Příklady z mých prehistorických cvičení najdete tady.

sek