Teorie čísel 2024/25

NMMB206
Letní semestr 2024/25
Přednáška úterý 12:20 v K1
Cvičení se Simčou Hlavinkovou pondělí 14:00 a 15:40 v K6

Skripta jsou relativně finální (18.2. jsem udělal ještě pár drobných úprav; v průběhu semestru případně budu opravovat chybky). Doporučuji si vytisknout strany 6-55.

Cílem předmětu je probrat základy teorie čísel: Začneme rozložením prvočísel,  aproximacemi reálných čísel pomocí řetězových zlomků a Pellovou rovnicí. Dále využijeme komplexních čísel k řešení diofantických rovnic a důkazu zákona kvadratické reciprocity. Ke konci semestru se podíváme na strukturu grup počítání modulo n Z_n a její aplikace testování prvočíselnosti. Primárně budeme používat má skripta.

Zkouška

Zkouška bude písemná s několika teoretickými i početními otázkami pokrývajícími látku probranou na přednášce a cvičení. Písemka bude na 90 minut, smí se u ní používat (ne přehnaně inteligentní) kalkulačky.

Po písemce může velmi výjimečně následovat ústní dozkoušení, zejména v případě distančního konání zkoušky (nebo při nejasnostech v prezenční písemce nebo hraničním počtu bodů).

Časem bude v diskusi více informací.

Zápočet není potřeba ke konání zkoušky.

Web cvičení
K získání zápočtu bude třeba úspěšně vyřešit 4 sady domácích úkolů (zadaných na cvičeních): Konkrétně bude třeba získat aspoň 40 % bodů z každé sady a aspoň 70 % bodů dohromady.
Po dohodě s cvičícím je možné i opravné získání zápočtu za vyřešení většího množství úkolů po termínu.

Konzultace

Pokud chcete cokoli probrat, napište mi email (pokud by šlo o něco rozsáhlejšího, můžeme se domluvit naživo nebo na zoom). 

Neváhejte také využívat diskusní dokument.

Průběh přednášky

plán do budoucna je samozřejmě předběžný
Odkazy jsou na má skripta; přehled toho, co nezkouším, bude v diskusi

20. 5. předtermín??
13. 5. rektorský den
  6. 5. míjení involucí, proč Rabin-Millerův test funguje (sekce 5.8, 5.9)
29. 4. primitivní prvky, Rabin-Millerův test (sekce 5.6, 5.7)
22. 4. 5. pravděpodobnostní testy prvočíselnosti (sekce 5.1 – 5.5, část sekce 5.6 po lemma 5.4 včetně)
15. 4. okruh Z[zeta_p] a důkaz kvadratické reciprocity, Jacobiho symbol, aplikace na p=a^2+2b^2 (dokončení kapitoly 4)
  8. 4. charaktery a Gaussovy součty (sekce 4.2, 4.3), začátek sekce 4.4 (formulace věty 4.11, důkaz tvrzení 4.12)
  1. 4. 4. kvadratické zbytky, charaktery (sekce 4.1 a začátek sekce 4.2 – před tvrzení 4.6)
25. 3. speciální případ věty o prvočíslech v aritmetické posloupnosti, ireducibilita cyklotomických polynomů (dokončení kapitoly 3)
18. 3. 3. gaussovská celá čísla, cyklotomické polynomy (sekce 3.1 a začátek sekce 3.2 po znění tvrzení 3.5)
11. 3. dobré aproximace, periodické řetězové zlomky a Pellova rovnice (sekce 2.6 – 2.8)
  4. 3. řetězové zlomky, sblížené zlomky (sekce 2.4, 2.5)
25. 2. Čebyševův dolní odhad, Bertrandův postulát, 2. aproximace reálných čísel, existence řešení Pellovy rovnice (sekce 1.3; sekce 2.1 – 2.3; tvrzení 2.1 bude na 4. cvičení)
18. 2. 1. úvod, Čebyševův horní odhad, valuace (sekce 1.1, 1.2)

Literatura

Skripta jsou relativně finální (18.2. jsem udělal ještě pár drobných úprav; v průběhu semestru případně budu opravovat chybky). Doporučuji si vytisknout strany 6-55.
Skripta Aleše Drápala (pozor, občas něco dělají jinak než my na přednášce a obsahují drobné překlepy)
Skripta Martina Klazara
Zuzana Masáková, Edita Pelantová, Teorie čísel, skripta pro FJFI ČVUT

Můj předloňský web. Letošní přednáška mu bude podobná.
Dřívější weby Honzy Žemličky, David Stanovského a Štěpána Holuba.
Příklady z mých prehistorických cvičení najdete tady.